Какое будет значение tg(π+t), если sin(2π+t) равно 15/17?

Чтобы решить данную задачу, мы воспользуемся двумя основными тригонометрическими соотношениями: \(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\) и \(\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\). Давайте начнем с решения пошагово:
1. У нас есть информация о значении \(\sin(2\pi + t)\), которое равно \(\frac{15}{17}\).
2. Мы можем использовать первое тригонометрическое соотношение \(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\) и заменить \(\alpha\) на \(2\pi\) и \(\beta\) на \(t\): \(\sin(2\pi + t) = \sin 2\pi\cos t + \cos 2\pi\sin t\).
3. Заметим, что \(\sin 2\pi = 0\) и \(\cos 2\pi = 1\), поскольку синус периодичен с периодом \(2\pi\), и при \(2\pi\) он равен 0, а косинус при \(2\pi\) равен 1.
4. Теперь можем упростить выражение: \(\frac{15}{17} = 0\cdot \cos t + 1\cdot \sin t = \sin t\).
5. Отсюда получаем, что \(\sin t = \frac{15}{17}\), что означает, что в треугольнике со сторонами 15, 17 и гипотенузой 17 соотношение синуса равно \(\frac{15}{17}\).
6. Мы хотим найти значение \(\tan(\pi + t)\), поскольку \(\tan(\pi + t) = \frac{\sin(\pi + t)}{\cos(\pi + t)}\), и мы знаем, что \(\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).
7. Используя тригонометрические соотношения для суммы углов, мы можем записать \(\sin(\pi + t) = \sin\pi\cos t + \cos\pi\sin t = 0\cdot \cos t + (-1)\cdot \sin t = -\sin t\).
8. Аналогично, \(\cos(\pi + t) = \cos\pi\cos t - \sin\pi\sin t = (-1)\cdot \cos t - 0\cdot \sin t = -\cos t\).
9. Теперь можем выразить \(\tan(\pi + t) = \frac{\sin(\pi + t)}{\cos(\pi + t)} = \frac{-\sin t}{-\cos t} = \frac{\sin t}{\cos t}\).
10. Мы уже знаем значение \(\sin t = \frac{15}{17}\), поэтому можем подставить его в выражение: \(\tan(\pi + t) = \frac{\frac{15}{17}}{\cos t}\).

Итак, значение \(\tan(\pi + t)\) равно \(\frac{\frac{15}{17}}{\cos t}\), где \(\cos t\) неизвестно и мы не можем найти его значение, потому что в задаче у нас нет информации о значении \(\cos(2\pi + t)\) или других соотношениях, связывающих \(\cos t\).