Какое будет максимальное значение суммы, полученной при интегрировании функции у=х^2 на отрезке [0;1], если применить

Для решения этой задачи нам потребуется использовать метод прямоугольников для приближенного вычисления интеграла функции. При этом, чтобы получить максимальное значение суммы, необходимо выбрать тип разбиения, который максимально приближает функцию.

Сначала разобьем отрезок [0; 1] на 4 равных части. Получим следующие интервалы:
\([0; \frac{1}{4}]\), \([\frac{1}{4};\frac{1}{2}]\), \([\frac{1}{2};\frac{3}{4}]\), \([\frac{3}{4};1]\)

Теперь вычислим значения функции \(y = x^2\) на каждом из этих интервалов. Для каждого интервала возьмем значение функции на его левой границе и умножим на ширину интервала.

На первом интервале \([0; \frac{1}{4}]\) значение функции будет \(y_1 = (0)^2 = 0\).
На втором интервале \([\frac{1}{4};\frac{1}{2}]\) значение функции будет \(y_2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}\).
На третьем интервале \([\frac{1}{2};\frac{3}{4}]\) значение функции будет \(y_3 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\).
На четвертом интервале \([\frac{3}{4};1]\) значение функции будет \(y_4 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\).

Теперь найдем сумму полученных значений и умножим на ширину каждого интервала, чтобы получить приближенное значение интеграла:

\[
S = \left(0 \cdot \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{64} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{9}{64} = \frac{1}{16} + \frac{10}{64} = \frac{1+10}{64} = \frac{11}{64}
\]

Таким образом, максимальное значение суммы, полученной при интегрировании функции \(y = x^2\) на отрезке \([0;1]\) с использованием разбиения на 4 равных части, равно \(\frac{11}{64}\).