Какое 2020-е число будет в ряду последовательных нечетных натуральных чисел, выписанных по спирали и упорядоченных

Чтобы решить данную задачу, давайте разберемся, как строится последовательность нечетных натуральных чисел, выписанных "по спирали".

Начнем с центрального числа спирали, которое равно 1. Затем мы двигаемся по спирали, заполняя ячейки числами в порядке возрастания. При движении по спирали осуществляется переход от одной ячейки к другой вправо, вверх, влево и вниз.

Расположим числа в каждом следующем круге спирали следующим образом:
\[
\begin{{array}}{{ccccccccccc}}
& & & 73 & 74 & 75 & 76 & 77 & 78 & 79 & \\
& & & 72 & 43 & 44 & 45 & 46 & 47 & 80 & \\
& & & 71 & 42 & 21 & 22 & 23 & 48 & 81 & \\
& & & 70 & 41 & 20 & \textbf{{7}} & 24 & 49 & 82 & \\
& & & 69 & 40 & 19 & 6 & 25 & 50 & 83 & \\
& 100 & 101 & 68 & 39 & 18 & \textbf{{5}} & 26 & 51 & 84 & 123 \\
& 99 & 102 & 67 & 38 & 17 & \textbf{{4}} & 27 & 52 & 85 & 122 \\
& 98 & 103 & 66 & 37 & 16 & \textbf{{3}} & 28 & 53 & 86 & 121 \\
& 97 & 104 & 65 & 36 & 15 & \textbf{{2}} & 29 & 54 & 87 & 120 \\
& 96 & 105 & 64 & 35 & 14 & 1 & 30 & 55 & 88 & 119 \\
& 95 & 106 & 63 & 34 & 13 & 12 & 31 & 56 & 89 & 118 \\
& 94 & 107 & 62 & 33 & 32 & 33 & 57 & 90 & 117 & \\
& 93 & 108 & 61 & 60 & 59 & 58 & 91 & 116 & & \\
& 92 & 109 & 110 & 111 & 112 & 113 & 114 & 115 & & \\
\end{{array}}
\]

Как можно заметить, каждый новый круг спирали состоит из четырех чисел, которые образуют "уголок". На примере выше видно, что первые числа в каждом уголке спирали соответствуют квадратам натуральных чисел (1, 9, 25, 49 и так далее).

Теперь давайте найдем номер круга спирали, в котором будет находиться искомое число 2020. Заметим, что в каждом уголке спирали число элементов равно удвоенному числу, являющемуся длиной стороны уголка соответствующего круга.

Поделим нашу задачу на две части:

1. Найдем номер круга спирали, в котором будет находиться число 2020.
2. Найдем, в каком месте в углу спирали находится число 2020.

Сначала найдем номер круга спирали. Нам нужно найти число \( n \), что \( (2n-1)^2 < 2020 \) и \( (2n+1)^2 \geq 2020 \). Можем пройти по числам и найти такое число.

\( (2 \cdot 31 - 1)^2 = 1922 \) - это число уже меньше, чем 2020.
\( (2 \cdot 32 - 1)^2 = 2116 \) - это число уже больше, чем 2020.

Таким образом, число 2020 будет находиться в \( 32 \) круге спирали.

Теперь перейдем ко второй части задачи: найдем положение числа 2020 в углу круга спирали. Круг спирали состоит из углов, и каждый угол состоит из 4 чисел, где первое число является квадратом числа \( (2n-1) \), второе число находится на расстоянии \( 2n \) от квадратного числа, третье - на расстоянии \( 4n \), и четвертое - на расстоянии \( 6n \) от квадратного числа.

Чтобы найти положение числа 2020, нужно вычислить остаток от деления 2020 на \( 4n \), где \( n \) - номер круга. Затем остаток будет указывать на положение числа внутри угла.

В данном случае \( n = 32 \). Теперь найдем остаток от деления 2020 на \( 4n \): \( 2020 \mod (4 \cdot 32) = 52 \).

Таким образом, число 2020 будет находиться на расстоянии 52 от начала угла, в котором оно будет первым числом.

Теперь вычислим, каким будет само число 2020. Первое число в углу равно квадрату числа \( (2n-1) \), где \( n = 32 \). Подставим: \( (2 \cdot 32 - 1)^2 = 1981 \).

Остаток от деления 2020 на \( 4n \) равен 52, значит, нужно прибавить 52 к 1981: \( 1981 + 52 = 2033 \).

Таким образом, искомое число будет равно 2033.