1) Проверьте, является ли треугольник ΔAВС прямоугольным, учитывая координаты его вершин: А(–1; 5; 3), В(–1

Шаг 1: Вычисление длин сторон треугольника

Для начала, вычислим длины всех сторон треугольника. Формулой расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве является:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}\]

где \(x_1, y_1, z_1\) - это координаты первой точки, а \(x_2, y_2, z_2\) - координаты второй точки.

Для треугольника ΔABC используем следующие точки:
A(-1, 5, 3), B(-1, -3, 9), C(3, -2, 6).

Вычислим длины сторон AB, BC и AC:

сторона AB:
\[d_{AB} = \sqrt{{(-1 - (-1))^2 + (5 - (-3))^2 + (3 - 9)^2}} = \sqrt{{0^2 + 8^2 + (-6)^2}} = \sqrt{{64 + 36}} = \sqrt{{100}} = 10\]

сторона BC:
\[d_{BC} = \sqrt{{(-1 - 3)^2 + (-3 - (-2))^2 + (9 - 6)^2}} = \sqrt{{(-4)^2 + (-1)^2 + 3^2}} = \sqrt{{16 + 1 + 9}} = \sqrt{{26}}\]

сторона AC:
\[d_{AC} = \sqrt{{(-1 - 3)^2 + (5 - (-2))^2 + (3 - 6)^2}} = \sqrt{{(-4)^2 + 7^2 + (-3)^2}} = \sqrt{{16 + 49 + 9}} = \sqrt{{74}}\]

Шаг 2: Проверка, является ли треугольник прямоугольным

Если треугольник является прямоугольным, тогда сумма квадратов длин двух меньших сторон должна быть равна квадрату самой большой стороны.

В нашем случае, пусть сторона AB - самая большая сторона, а стороны BC и AC - меньшие стороны.

Проверим условие \(d_{AB}^2 = d_{BC}^2 + d_{AC}^2\):

\[10^2 = (\sqrt{{26}})^2 + (\sqrt{{74}})^2\]

\[100 = 26 + 74\]

\[100 = 100\]

Условие выполняется, поэтому треугольник ΔABC является прямоугольным.

Шаг 3: Нахождение координат вершин треугольника

Мы знаем координаты серединных точек М(3, -2, -4), N(-6, 4, -10) и К(-7,?,?)

Координаты серединной точки находятся как среднее значение координат точек, образующих отрезок. Для нахождения координат вершин треугольника, умножим вектор от серединной точки до вершины на 2.

Таким образом, вершина A будет иметь координаты:

\[ x = 2 \times (3) - (-7) = 6 + 7 = 13 \]
\[ y = 2 \times (-2) - 4 = -4 - 4 = -8 \]
\[ z = 2 \times (-4) - 0 = -8 \]

Таким образом, координаты вершины A: A(13, -8, -8).

Аналогично, для вершин B и C:

Вершина B:
\[ x = 2 \times (-6) - (-7) = -12 + 7 = -5 \]
\[ y = 2 \times (4) - 0 = 8 \]
\[ z = 2 \times (-10) - (-1) = -20 + 1 = -19 \]
Координаты вершины B: B(-5, 8, -19).

Вершина C:
\[ x = 2 \times (-7) - 13 = -14 - 13 = -27 \]
\[ y = 2 \times (?) - (-8) \]
\[ z = 2 \times (?) - (-8) \]

Увы, я не смог найти значения координат вершины C, так как у меня отсутствует информация о второй координате серединной точки К.

В итоге, координаты вершин треугольника ΔABC: A(13, -8, -8), B(-5, 8, -19), C(?, ?, ?).