Каким образом можно заполнить таблицу в соответствии с заданным законом распределения случайной величины X, зная

Для начала, давайте разберем, что такое закон распределения случайной величины. Закон распределения определяет вероятности различных значений этой случайной величины.

В данной задаче нам известно, что значения случайной величины X образуют арифметическую прогрессию. Арифметическая прогрессия представляет собой последовательность чисел, в которой разность между двумя соседними членами последовательности постоянна.

Другая информация, которая дана нам, говорит о том, что доли неизвестных вероятностей пропорциональны числам 1:3:5. Это означает, что наибольшая доля вероятности соответствует пятому элементу последовательности, вторая наибольшая доля соответствует третьему элементу, а оставшаяся доля соответствует первому элементу последовательности.

Теперь, чтобы заполнить таблицу, нам нужно знать начальное значение, разницу прогрессии и количество элементов.

Давайте представим, что начальное значение арифметической прогрессии равно a, разница прогрессии равна d, а количество элементов равно n.

Тогда первый элемент последовательности будет равен a, второй элемент будет равен a+d, третий элемент будет равен a+2d, и так далее, до элемента с номером n, который будет равен a+(n-1)d.

Теперь, так как у нас имеется пропорциональное соотношение между долями вероятностей, мы можем использовать это, чтобы найти значения вероятностей для каждого элемента.

Вероятности могут быть выражены в виде отношения \(p_i = \frac{i^2}{\sum_{i=1}^{n} i^2}\), где \(p_i\) - вероятность i-го элемента, а \(\sum_{i=1}^{n} i^2\) - сумма квадратов чисел от 1 до n. В данном случае, n = 5.

Для i = 1: \(p_1 = \frac{1^2}{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2}\)
Для i = 2: \(p_2 = \frac{2^2}{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2}\)
Для i = 3: \(p_3 = \frac{3^2}{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2}\)
Для i = 4: \(p_4 = \frac{4^2}{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2}\)
Для i = 5: \(p_5 = \frac{5^2}{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2}\)

Теперь у нас есть значения вероятностей для каждого элемента, и мы можем заполнить таблицу.

\[
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
X & Значение & Вероятность \\
\hline
1 & a & \(p_1\) \\
\hline
2 & a+d & \(p_2\) \\
\hline
3 & a+2d & \(p_3\) \\
\hline
4 & a+3d & \(p_4\) \\
\hline
5 & a+4d & \(p_5\) \\
\hline
\end{tabular}
\]

Остается только найти значения \(a\) и \(d\). Мы знаем, что первый элемент последовательности равен a, а последний элемент равен a+4d.

Также, у нас есть пропорциональное соотношение между вероятностями. Вероятности соответствуют значениям 1:3:5. Это означает, что \(p_5 = 5 \cdot p_3\) и \(p_3 = 3 \cdot p_1\).

Мы можем использовать эти соотношения для нахождения \(a\) и \(d\).

Сначала, заметим, что \(p_3 = \frac{9}{39} = \frac{3}{13} \cdot \frac{3}{3}\), а \(p_1 = \frac{1}{39} = \frac{1}{13} \cdot \frac{3}{3}\). То есть, \(p_3 = 3 \cdot p_1\).

Теперь, используя это соотношение, можно записать:

\(\frac{5}{39} = 5 \cdot p_1\)

\(\frac{5}{39} = \frac{15}{13} \cdot \frac{1}{13} \cdot \frac{3}{3}\)

Значит, \(p_1 = \frac{15}{13} \cdot \frac{1}{13} = \frac{15}{169}\).

Теперь, зная \(p_1\) и \(p_3\), мы можем найти \(a\) и \(d\) с помощью следующих равенств:

\(a + 4d = 5\) (последний элемент равен 5)
\(a + 2d = 3\) (третий элемент равен 3)

Вычтем второе уравнение из первого:

\((a+4d) - (a+2d) = 5 - 3\)

\(2d = 2\)

\(d = 1\)

Теперь найдем \(a\) подставя все в первое уравнение:

\(a + 4 \cdot 1 = 5\)

\(a + 4 = 5\)

\(a = 1\)

Итак, найденные значения равны \(a = 1\) и \(d = 1\).

Мы можем использовать эти значения для заполнения таблицы:

\[
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
X & Значение & Вероятность \\
\hline
1 & 1 & \(\frac{15}{169}\) \\
\hline
2 & 2 & \(\frac{10}{169}\) \\
\hline
3 & 3 & \(\frac{9}{169}\) \\
\hline
4 & 4 & \(\frac{10}{169}\) \\
\hline
5 & 5 & \(\frac{25}{169}\) \\
\hline
\end{tabular}
\]

Таким образом, таблица заполнена в соответствии с заданным законом распределения случайной величины X.