Каким образом можно решить неравенство у´´ ≥ 0, если y=-1/9 sin⁡3x-x^2/2?

Чтобы решить данное неравенство, нам сначала нужно найти вторую производную функции \( y \). Давайте найдем ее шаг за шагом.

1. Найдем первую производную функции \( y \):
\[ y" = \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{9}\sin(3x) - \frac{x^2}{2}\right) \]

Применим правило дифференцирования суммы и разности функций:
\[ y" = \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{9}\sin(3x)\right) - \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2}\right) \]

2. Рассчитаем первую производную для каждого слагаемого:
\[ y" = \left(-\frac{1}{9}\right)\cdot\frac{d}{dx}\sin(3x) - \frac{1}{2}\cdot\frac{d}{dx}x^2 \]

Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции для первого слагаемого и правилом степенной функции для второго слагаемого:
\[ y" = -\frac{1}{9}\cdot\cos(3x)\cdot\frac{d}{dx}(3x) - \frac{1}{2}\cdot2x \]

Производная угловой функции \( \sin(3x) \) равна \( 3\cos(3x) \):
\[ y" = -\frac{1}{9}\cdot\cos(3x)\cdot3 - x \]

3. Сократим и упростим выражение:
\[ y" = -\frac{1}{3}\cos(3x) - x \]

Теперь найдем вторую производную функции \( y \):

4. Найдем производную для полученного выражения \( y" \):
\[ y"" = \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{3}\cos(3x) - x\right) \]

Применим правило дифференцирования суммы и разности функций:
\[ y"" = \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{3}\cos(3x)\right) - \frac{d}{dx}x \]

5. Рассчитаем производные для каждого слагаемого:
\[ y"" = \left(-\frac{1}{3}\right)\cdot\frac{d}{dx}\cos(3x) - 1 \]

Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции для первого слагаемого:
\[ y"" = -\frac{1}{3}\cdot(-3\sin(3x)) - 1 \]

Производная угловой функции \( \cos(3x) \) равна \( -3\sin(3x) \):
\[ y"" = \sin(3x) - 1 \]

Теперь у нас есть вторая производная функции \( y \): \( y"" = \sin(3x) - 1 \).

6. Нам нужно найти значения переменной \( x \), при которых \( y"" \ge 0 \).
Для этого решим неравенство:
\[ \sin(3x) - 1 \ge 0 \]

7. Для начала найдем интервалы, на которых \( \sin(3x) \ge 1 \):
\[ \sin(3x) \ge 1 \Rightarrow 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Решим это уравнение относительно \( x \):
\[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3}n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

8. Теперь найдем интервалы, на которых \( \sin(3x) \le 1 \):
\[ \sin(3x) \le 1 \Rightarrow 3x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Решим это уравнение относительно \( x \):
\[ x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3}n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Таким образом, мы получили два класса интервалов, в которых выполняется \( \sin(3x) - 1 \ge 0 \):
1) \( x \) принадлежит интервалу \( \left[-\infty, -\frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{\pi}{6}, +\infty\right) \)
2) \( x \) принадлежит интервалам \( \left[-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3}n, \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3}n\right] \), где \( n \) - целое число.

Таким образом, неравенство \( y"" \ge 0 \) выполняется при \( x \) принадлежащих указанным интервалам.