Каким образом можно определить размеры металлической ёмкости в форме прямоугольного параллелепипеда с квадратным

Чтобы определить размеры металлической ёмкости в форме прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, открытым верхом и объемом 270 л, необходимо использовать принцип минимизации поверхности. Минимизация затрат на материалы достигается, если поверхность ёмкости имеет минимальную площадь.

Для начала, обозначим сторону основания ёмкости как \(a\), а высоту ёмкости как \(h\). Так как основание является квадратом, то \(a\) будет равно стороне основания.

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле: \[V = a^2 \cdot h\]

Подставив данное значение объема (270 л), получим следующее уравнение: \[270 = a^2 \cdot h\]

Теперь нам нужно выразить высоту \(h\) через сторону основания \(a\), чтобы свести задачу к определению одной переменной.

Разделим оба выражения на \(a^2\), получим: \[h = \frac{270}{a^2}\]

Теперь мы можем выразить площадь поверхности ёмкости.

Площадь поверхности параллелепипеда состоит из площадей всех его поверхностей. Учитывая, что верхняя часть открыта, поверхность основания имеет площадь \(a^2\), а остальные четыре поверхности имеют одинаковую площадь и равны \(a \cdot h\).

Площадь поверхности ёмкости вычисляется по формуле: \[S = a^2 + 4ah\]

Подставим в эту формулу выражение для \(h\): \[S = a^2 + 4a \cdot \frac{270}{a^2}\]

Упростим это выражение: \[S = a^2 + \frac{1080}{a}\]

Теперь наша задача состоит в определении минимальной площади поверхности ёмкости.

Для этого найдем производную площади \(S\) по переменной \(a\): \[S" = 2a - \frac{1080}{a^2}\]

Найдем значение переменной \(a\), при котором производная равна нулю:

\[2a - \frac{1080}{a^2} = 0\]

Решим это уравнение: \[2a = \frac{1080}{a^2}\]

Умножим оба выражения на \(a^2\): \[2a^3 = 1080\]

Далее разделим оба выражения на 2: \[a^3 = 540\]

Извлечем кубический корень из обоих частей уравнения: \[a = \sqrt[3]{540}\]

Вычислим значение корня: \[a \approx 8.876\]

Таким образом, сторона основания ёмкости должна быть примерно равна 8.876 см. Теперь, чтобы найти значение высоты \(h\), подставим найденное значение \(a\) в уравнение, используя формулу, полученную ранее: \[h = \frac{270}{a^2}\]

\[h \approx \frac{270}{(8.876)^2}\]

\[h \approx 3.043\]

Таким образом, размеры металлической ёмкости, при которых затраты на материалы минимальны, составляют примерно 8.876 см на 8.876 см для стороны основания и 3.043 см для высоты.