Каким образом Иван может разместить свои восемь шаров, три из которых синие и пять красные, в восьми коробках

Каким образом Иван может разместить свои восемь шаров, три из которых синие и пять красные, в восьми коробках под номерами так, чтобы каждая коробка содержала по одному шару?

Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторику.

У нас есть 8 коробок и 8 шаров, которые нужно распределить. Мы знаем, что в каждую коробку должен попасть по одному шару.

Сначала рассмотрим возможные способы распределения синих шаров. У нас есть 3 синих шара и 8 коробок. Мы можем выбрать любую из 8 коробок под первым шаром, 7 оставшихся коробок под вторым шаром и 6 оставшихся коробок под третьим шаром. Таким образом, мы получаем общее количество способов распределения синих шаров:

\(8 \cdot 7 \cdot 6 = 336\) способов.

Затем рассмотрим распределение красных шаров. У нас есть 5 красных шаров и оставшиеся 5 коробок. Аналогично, мы можем выбрать любую из 5 коробок под первым шаром, 4 оставшихся коробки под вторым шаром, 3 оставшихся коробки под третьим шаром, 2 оставшихся коробки под четвертым шаром и 1 оставшуюся коробку под пятый шар. Таким образом, мы получаем общее количество способов распределения красных шаров:

\(5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120\) способов.

Наконец, чтобы найти общее количество способов размещения всех шаров, мы должны умножить количество способов распределения синих шаров на количество способов распределения красных шаров:

\(336 \cdot 120 = 40,320\) способов.

Ответ: Иван может разместить свои 8 шаров синего и красного цветов в 40,320 различных комбинаций в восьми коробках.

Сколькими способами можно выбрать из 10 человек группу из шести человек так, чтобы двое из них не должны были работать вместе?

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторику и принцип размещений.

У нас есть 10 человек, из которых мы должны выбрать группу из 6 человек. Нам известно, что двое из выбранных людей не могут работать вместе.

Мы можем подойти к этой задаче, как к нахождению общего количества способов выбора группы из 6 человек и вычесть количество способов, когда двое из выбранных людей работают вместе.

Общее количество способов выбрать группу из 6 человек из 10 - это число сочетаний из 10 по 6:

\[{10 \choose 6} = \frac{{10!}}{{6! \cdot (10-6)!}} = \frac{{10!}}{{6! \cdot 4!}} = 210.\]

Теперь остается найти количество способов, когда двое из выбранных людей работают вместе. Здесь нам поможет принцип размещений.

Из 10 человек у нас есть 2 специфических человека, которые должны работать вместе. Мы можем выбрать этих двух людей из 10 способами.

Затем мы должны выбрать остальных 4 человека из 8 оставшихся, и это делается в \({8 \choose 4}\) способов, снова используя число сочетаний.

\[{8 \choose 4} = \frac{{8!}}{{4! \cdot (8-4)!}} = \frac{{8!}}{{4! \cdot 4!}} = 70.\]

Теперь мы знаем количество способов, когда двое из выбранных людей работают вместе. Чтобы получить итоговый ответ, мы должны вычесть это количество из общего количества способов выбора группы из 6 человек:

\(210 - 70 = 140.\)

Ответ: Существует 140 способов выбрать из 10 человек группу из шести человек так, чтобы двое из них не должны были работать вместе.