Каким должно быть наименьшее целое значение k, чтобы уравнение 5x^2 + 7x - k = 0 имело два различных корня?

Для начала, давайте вспомним, что уравнение квадратное, так как степень переменной \(x\) в нём равна 2. Уравнение выглядит следующим образом:

\[5x^2 + 7x - k = 0\]

Мы хотим найти наименьшее целое значение \(k\), чтобы уравнение имело два различных корня. Для того чтобы это произошло, дискриминант уравнения должен быть больше нуля.

Дискриминант \(D\) определяется следующим образом:

\[D = b^2 - 4ac\]

Где \(a\), \(b\) и \(c\) - это коэффициенты в уравнении квадратного трехчлена.

В нашем случае, \(a = 5\), \(b = 7\) и \(c = -k\).

Подставим значения в формулу для дискриминанта:

\[D = 7^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-k)\]

Упростим это выражение:

\[D = 49 + 20k\]

Теперь нам нужно, чтобы дискриминант \(D\) был больше нуля:

\[49 + 20k > 0\]

Вычитаем 49 из обеих сторон неравенства:

\[20k > -49\]

Делим обе стороны неравенства на 20:

\[k > -\frac{49}{20}\]

Мы знаем, что \(k\) - целое число, поэтому наименьшее целое значение \(k\), при котором уравнение имеет два различных корня, это \(k = -3\). Если \(k\) было меньше -3, то дискриминант был бы меньше нуля, и уравнение имело бы два комплексных корня. Если \(k\) было равно -3 или больше, то дискриминант был бы больше или равен нулю, и уравнение имело бы два различных вещественных корня.

Таким образом, наименьшее целое значение \(k\), при котором уравнение \(5x^2 + 7x - k = 0\) имеет два различных корня, равно -3.