1. Скільким членам гуртка юних поетів можна дозволити взяти участь в конкурсі? а)12; б)7; в)5; г)35

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать понятие комбинаторики. Для этого мы воспользуемся формулой для вычисления количества сочетаний из \( n \) элементов по \( k \) элементов: \({C_k}^n=\frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\).

Задача говорит нам о группе юных поэтов и их участии в конкурсе. Мы должны вычислить количество возможных вариантов, которые можно составить из данной группы для участия в конкурсе.

Итак, у нас есть 12 членов в группе юных поэтов. Мы должны определить, сколько из них можно выбрать для участия в конкурсе. Это означает, что нам нужно выбрать количество участников, равное 12, из данной группы.

Применим формулу сочетаний: \({C_k}^n\). В данном случае \( n = 12 \) и \( k \) будет равно количеству участников, которых мы хотим выбрать.

Для варианта а) нам нужно выбрать 12 участников из группы, что является полностью возможным. Поэтому ответ будет "да", возможно.

Для варианта б) нам нужно выбрать 7 участников из группы. Применяя формулу, мы получаем: \({C_7}^{12}=\frac{{12!}}{{7!(12-7)!}}\). После вычислений получается:
\({C_7}^{12}=\frac{{12!}}{{7! \cdot 5!}}=\frac{{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}}{{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}=792\).

Значит, возможных вариантов выбрать 7 участников из 12 есть 792. Ответом на данную задачу будет "нет", невозможно выбрать группу из 7 членов.

Для варианта в) нам нужно выбрать 5 участников из группы. По формуле сочетаний получаем: \({C_5}^{12}=\frac{{12!}}{{5!(12-5)!}}\). Вычислим:
\({C_5}^{12}=\frac{{12!}}{{5! \cdot 7!}}=\frac{{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}}{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}=792\).

Таким образом, возможных вариантов выбрать 5 участников из 12 также 792. Ответ на эту задачу также будет "нет", так как невозможно выбрать группу из 5 членов.

Для варианта г) нам нужно выбрать 35 участников из группы. Применяя формулу сочетаний, получаем: \({C_{35}}^{12}=\frac{{12!}}{{35!(12-35)!}}\). После вычислений получаем:
\({C_{35}}^{12}=\frac{{12!}}{{35! \cdot (-23)!}}=\frac{{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23!}}=0\).

Таким образом, возможных вариантов выбрать 35 участников из 12 нет. Ответ на эту задачу будет "нет", невозможно выбрать группу из 35 членов.

Итак, чтобы ответить на задачу о возможности участия количества членов группы в конкурсе, мы получаем следующие результаты:

а) Да, возможно выбрать 12 участников из 12.
б) Нет, невозможно выбрать 7 участников из 12.
в) Нет, невозможно выбрать 5 участников из 12.
г) Нет, невозможно выбрать 35 участников из 12.