Какие значения x являются нулями функции y=квадратный корень из x^2+5x​ и какие промежутки x обеспечивают

Для начала, давайте найдем нули функции \(y = \sqrt{x^2 + 5x}\). Чтобы найти нули функции, мы должны найти значения \(x\), при которых \(y\) равно нулю.

Для этого, мы можем приравнять функцию к нулю и решить полученное уравнение:

\[\sqrt{x^2 + 5x} = 0\]

Так как мы возведем выражение в квадрат, необходимо проверить область допустимых значений \(x\), чтобы избежать возможных проблем с извлечением квадратного корня. Заметим, что квадратный корень из неотрицательного числа всегда положителен или ноль. Также, при извлечении квадратного корня из отрицательного числа получаем мнимое число, что за допустимые значения не подходит. Таким образом, отбрасываем отрицательные значения выражения \(x^2 + 5x\).

После применения этих ограничений, мы можем продолжить решение уравнения:

\[\begin{align*}
\sqrt{x^2 + 5x} &= 0 \\
x^2 + 5x &= 0 \\
x(x + 5) &= 0
\end{align*}\]

Таким образом, у нас есть два варианта для уравнения: \(x = 0\) или \(x + 5 = 0\).

Для первого случая, \(x = 0\), подставляя это значение в исходное уравнение, мы получаем:

\[y = \sqrt{0^2 + 5\cdot 0} = 0\]

Таким образом, \(x = 0\) является нулем функции.

Для второго случая, \(x + 5 = 0\), решая уравнение получаем:

\[x = -5\]

Подставляем это значение в исходное уравнение:

\[y = \sqrt{(-5)^2 + 5 \cdot -5} = \sqrt{25 - 25} = \sqrt{0} = 0\]

Таким образом, \(x = -5\) также является нулем функции.

Теперь давайте определим знакопостоянство функции \(y = \sqrt{x^2 + 5x}\) на различных промежутках значения \(x\).

Из предыдущего анализа мы знаем, что функция имеет нули при \(x = 0\) и \(x = -5\). Теперь мы можем разбить ось \(x\) на три интервала: \((- \infty, -5)\), \((-5, 0)\) и \((0, + \infty)\), чтобы анализировать знакопостоянство функции на каждом из этих интервалов.

Давайте возьмем случайное значение из каждого интервала и определим знак функции.

Например, возьмем значения: \(x = -6\) для интервала \((- \infty, -5)\), \(x = -1\) для интервала \((-5, 0)\) и \(x = 1\) для интервала \((0, + \infty)\).

\[\begin{align*}
x = -6: \quad y &= \sqrt{(-6)^2 + 5 \cdot (-6)} = \sqrt{36 - 30} = \sqrt{6} > 0 \\
x = -1: \quad y &= \sqrt{(-1)^2 + 5 \cdot (-1)} = \sqrt{1 - 5} = \sqrt{-4} \text{(неопределено)} \\
x = 1: \quad y &= \sqrt{1^2 + 5 \cdot 1} = \sqrt{1 + 5} = \sqrt{6} > 0
\end{align*}\]

Таким образом, функция \(y = \sqrt{x^2 + 5x}\) положительна на интервалах \((- \infty, -5)\) и \((0, + \infty)\), и неопределена (или не имеет значения) на интервале \((-5, 0)\).

Подводя итог, нули функции \(y = \sqrt{x^2 + 5x}\) равны \(x = 0\) и \(x = -5\), а знак функции положительный на интервалах \((- \infty, -5)\) и \((0, + \infty)\), и неопределен на интервале \((-5, 0)\).