1) Постройте график следующих функций: а) умножить на -3 квадрат х; б) уравнение (х-1) в квадрате минус 14. Определите

Хорошо! Для начала, давайте построим график функции а) \(y = -3x^2\) и функции б) \(y = (x-1)^2 - 14\).

а) Функция \(y = -3x^2\) является параболой с ветвями, направленными вниз.

Давайте представим таблицу значений функции и построим график.

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-2 & -12 \\
-1 & -3 \\
0 & 0 \\
1 & -3 \\
2 & -12 \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь нарисуем график:

\[
\begin{array}{ccccccccc}
y & | & & & & & & & \\
& & & & \circ & & & & \\
& & & & | & & & & \\
& & & & \circ & & & & \\
& & \circ & | & & | & & \circ & \\
& & & & \text{-}2 & & & & \\
x & & & & & 0 & & & \\
& & & & & & & & \\
\end{array}
\]

Здесь точки (\(\circ\)) представляют значения (x, y) для графика функции.

Далее, определим интервалы возрастания и убывания функции \(y = -3x^2\).

Функция \(y = -3x^2\) возрастает на интервалах \((-\infty, 0)\) и \((0, +\infty)\), так как ветви параболы направлены вниз.

Теперь найдём значение \(x\), при котором функция достигает наибольшего и наименьшего значения.

Так как коэффициент перед \(x^2\) отрицательный (\(-3\)), функция достигает наибольшего значения в вершине параболы. Чтобы найти координаты вершины, используем формулу \(x = -\frac{b}{2a}\), где \(a\) и \(b\) - коэффициенты перед \(x^2\) и \(x\) соответственно.

Подставим значения \(-3\) и \(0\) в формулу:

\[
x = -\frac{0}{2(-3)} = 0
\]

Значит, вершина параболы находится в точке (0, 0).

Получили график функции а) и разобрали свойства функции. Теперь перейдем к функции б).

б) Функция \(y = (x-1)^2 - 14\) также представляет собой параболу, но с вершиной в точке (1, -14).

Строим таблицу значений функции:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-2 & -19 \\
-1 & -16 \\
0 & -15 \\
1 & -14 \\
2 & -15 \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь нарисуем график:

\[
\begin{array}{ccccccccc}
y & \mid & & & & & & & \\
& & & & & & \circ & & \\
& & & & & | & & & \\
& & & & & \circ & & & \\
& & & \circ & | & & & & \\
& & & & \text{-}2 & & & & \\
x & & & & & 1 & & & \\
& & & & & & & & \\
\end{array}
\]

Как видите, вершина параболы находится в точке (1, -14).

Теперь определим интервал, на котором функция принимает положительные значения.

Поскольку парабола повернута вершиной вниз, функция \(y = (x-1)^2 - 14\) примет положительные значения только при \(x < 1\) или \(x > 3\) (это следует из изображения графика).

Таким образом, мы построили график функций а) и б), объяснили их свойства и определили интервалы возрастания и убывания, а также значения \(x\), при которых функции достигают наибольшего и наименьшего значения.