Докажите, что сумма 6 в степени 18 и 6 в степени 10 делится

Хорошо, для доказательства того, что сумма \(6^{18}\) и \(6^{10}\) делится на 7, воспользуемся свойством делимости и некоторыми знаниями о свойствах степеней.

Для начала, представим \(6^{18}\) и \(6^{10}\) в виде произведения:
\[6^{18} = (2 \cdot 3)^{18} = 2^{18} \cdot 3^{18}\]
\[6^{10} = (2 \cdot 3)^{10} = 2^{10} \cdot 3^{10}\]

Теперь мы можем записать сумму в следующем виде:
\[6^{18} + 6^{10} = 2^{18} \cdot 3^{18} + 2^{10} \cdot 3^{10}\]

Заметим, что оба слагаемых имеют общий множитель \(3^{10}\), поэтому их можно вынести за скобки:
\[6^{18} + 6^{10} = 3^{10} \cdot (2^{18} \cdot 3^8 + 2^{10})\]

Теперь докажем, что в скобках расположено число, которое делится на 7. Рассмотрим числа \(2^{18} \cdot 3^8\) и \(2^{10}\) по отдельности.

\(2^{18}\) делится на 7, поскольку 7 является простым делителем числа 2^3 - 1. То есть, \(2^3 \equiv 1\) (mod 7), следовательно, \(2^{18} = (2^3)^6 \equiv 1^6 \equiv 1\) (mod 7).

Теперь рассмотрим \(2^{10}\). Заметим, что 2^10 = 2^8 * 2^2. \(2^8\) делится на 7, потому что 2^3 - 1 делится на 7, как мы уже установили, и \(2^2 = 4\) делится на 7. Таким образом, \(2^{10} = 2^8 \cdot 2^2\) также делится на 7.

Таким образом, мы видим, что оба числа \(2^{18} \cdot 3^8\) и \(2^{10}\) делятся на 7.

Следовательно, их сумма \(2^{18} \cdot 3^8 + 2^{10}\) также делится на 7.

А так как мы вынесли общий множитель \(3^{10}\), то исходная сумма \(6^{18} + 6^{10}\) тоже будет делиться на 7.

Таким образом, мы доказали, что сумма \(6^{18}\) и \(6^{10}\) делится на 7.