Какие значения x удовлетворяют уравнению cos2x - √2 cos (π/2 + x) + 1 = 0, если x находится в интервале (-5π; -7π/2)?

Чтобы решить данное уравнение, давайте пошагово преобразуем его и найдем все значения $x$, удовлетворяющие этому уравнению.

1. Изначально у нас дано уравнение:
${\cos }^{2}x-\sqrt{2}\cos (\frac{\pi }{2}+x)+1=0$.

2. Рассмотрим второе слагаемое $\sqrt{2}\cos (\frac{\pi }{2}+x)$. Заметим, что $\cos (\frac{\pi }{2}+x)=-\sin x$, что позволит нам преобразовать это слагаемое:
$\sqrt{2}\cos (\frac{\pi }{2}+x)=-\sqrt{2}\sin x$.

3. Теперь введем замену переменной, пусть $y=\sin x$. Тогда наше уравнение приобретет следующий вид:
${\cos }^{2}x-\sqrt{2}\cos (\frac{\pi }{2}+x)+1=0\Rightarrow {\cos }^{2}x+\sqrt{2}\sqrt{1-y^2}-1=0$.

4. Подставим значение $\sqrt{2}\sqrt{1-y^2}$ в наше уравнение:
${\cos }^{2}x-\sqrt{2}\cos (\frac{\pi }{2}+x)+1=0\Rightarrow {\cos }^{2}x-\sqrt{2}\sqrt{1-y^2}+1=0$.

5. Поскольку ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$, то заменим ${\cos }^{2}x$ в уравнении и упростим его:
$1-{\sin }^{2}x-\sqrt{2}\sqrt{1-y^2}+1=0\Rightarrow -{\sin }^{2}x-\sqrt{2}\sqrt{1-y^2}+2=0$.

6. Подставим значение $\sqrt{2}\sqrt{1-y^2}$ еще раз в уравнение:
$-{\sin }^{2}x-\sqrt{2}\sqrt{1-y^2}+2=0\Rightarrow -{\sin }^{2}x-\sqrt{2}\sqrt{1-{\sin }^{2}x}+2=0$.

7. Теперь заметим, что $\sqrt{1-{\sin }^{2}x}=\sqrt{{\cos }^{2}x}=|\cos x|$. Подставим это значение в уравнение и получим:
$-{\sin }^{2}x-\sqrt{2}|\cos x|+2=0$.

8. Разберемся отдельно с двумя возможными случаями:
- Если $\cos x>0$, то $|\cos x|=\cos x$, и уравнение примет вид:
$-{\sin }^{2}x-\sqrt{2}\cos x+2=0$.
- Если $\cos x<0$, то $|\cos x|=-\cos x$, и уравнение примет вид:
$-{\sin }^{2}x+\sqrt{2}\cos x+2=0$.

9. Рассмотрим сначала первый случай. Подставим $-{\sin }^{2}x$ в уравнение и преобразуем его:
$-{\sin }^{2}x-\sqrt{2}\cos x+2=0\Rightarrow {\sin }^{2}x+\sqrt{2}\cos x-2=0$.

10. Мы получили квадратное уравнение относительно $\sin x$. Решим его с помощью квадратного трехчлена или формулы дискриминанта.

Выражение ${\sin }^{2}x+\sqrt{2}\cos x-2$ можно представить в виде:
$(\sin x-1)(\sin x+2\sqrt{2})=0$.

Отсюда получаем два уравнения:
$\sin x-1=0\Rightarrow \sin x=1$,
и
$\sin x+2\sqrt{2}=0\Rightarrow \sin x=-2\sqrt{2}$.

Во втором уравнении значение $\sin x=-2\sqrt{2}$ не удовлетворяет условиям -1 ≤ $\sin x$.
Поэтому рассмотрим только первое уравнение $\sin x=1$.

11. Найдем все значения $x$, при которых $\sin x=1$. Вспомним свойства тригонометрических функций для синуса и найдем все углы, которые удовлетворяют условию:

- В первом квадранте $\sin x=1$ угол равен $\frac{\pi }{2}$.
- Во втором квадранте $\sin x=1$ угол равен $\frac{3\pi }{2}$.
- В третьем квадранте $\sin x=1$ угол равен $\frac{5\pi }{2}$.
- В четвертом квадранте $\sin x=1$ угол равен $\frac{7\pi }{2}$.

12. Теперь рассмотрим второй случай. Преобразуем уравнение $-{\sin }^{2}x+\sqrt{2}\cos x+2=0$:
$-{\sin }^{2}x+\sqrt{2}\cos x+2=0\Rightarrow {\sin }^{2}x-\sqrt{2}\cos x-2=0$.

13. Найдем все значения $x$, при которых $\sin x=-1$ (второй случай). Вспомним свойства тригонометрических функций для синуса и найдем все углы, которые удовлетворяют условию:

- В первом квадранте $\sin x=-1$ угол равен $\frac{3\pi }{2}$.
- В третьем квадранте $\sin x=-1$ угол равен $\frac{7\pi }{2}$.

14. Итак, у нас получились следующие значения $x$, удовлетворяющие заданному уравнению и находящиеся в интервале $(-5\pi ;-\frac{7\pi }{2})$:
$x_1=\frac{\pi }{2}$,
$x_2=\frac{3\pi }{2}$,
$x_3=\frac{5\pi }{2}$,
$x_4=\frac{7\pi }{2}$.

При желании можно подставить найденные значения $x$ обратно в исходное уравнение, чтобы проверить, что они удовлетворяют ему.