Какие значения x удовлетворяют уравнению cos2x - √2 cos (π/2 + x) + 1 = 0, если x находится в интервале (-5π; -7π/2)?

Чтобы решить данное уравнение, давайте пошагово преобразуем его и найдем все значения \(x\), удовлетворяющие этому уравнению.

1. Изначально у нас дано уравнение:
\(\cos^2x - \sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{2} + x\right) + 1 = 0\).

2. Рассмотрим второе слагаемое \(\sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{2} + x\right)\). Заметим, что \(\cos \left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x\), что позволит нам преобразовать это слагаемое:
\(\sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sqrt{2} \sin x\).

3. Теперь введем замену переменной, пусть \(y = \sin x\). Тогда наше уравнение приобретет следующий вид:
\(\cos^2x - \sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{2} + x\right) + 1 = 0 \Rightarrow \cos^2x + \sqrt{2} \sqrt{1-y^2} - 1 = 0\).

4. Подставим значение \(\sqrt{2} \sqrt{1-y^2}\) в наше уравнение:
\(\cos^2x - \sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{2} + x\right) + 1 = 0 \Rightarrow \cos^2x - \sqrt{2} \sqrt{1-y^2} + 1 = 0\).

5. Поскольку \(\sin^2x = 1 - \cos^2x\), то заменим \(\cos^2x\) в уравнении и упростим его:
\(1 - \sin^2x - \sqrt{2} \sqrt{1-y^2} + 1 = 0 \Rightarrow -\sin^2x - \sqrt{2} \sqrt{1-y^2} + 2 = 0\).

6. Подставим значение \(\sqrt{2} \sqrt{1-y^2}\) еще раз в уравнение:
\(-\sin^2x - \sqrt{2} \sqrt{1-y^2} + 2 = 0 \Rightarrow -\sin^2x - \sqrt{2} \sqrt{1-\sin^2x} + 2 = 0\).

7. Теперь заметим, что \(\sqrt{1-\sin^2x} = \sqrt{\cos^2x} = |\cos x|\). Подставим это значение в уравнение и получим:
\(-\sin^2x - \sqrt{2} |\cos x| + 2 = 0\).

8. Разберемся отдельно с двумя возможными случаями:
- Если \(\cos x > 0\), то \(|\cos x| = \cos x\), и уравнение примет вид:
\(-\sin^2x - \sqrt{2} \cos x + 2 = 0\).
- Если \(\cos x < 0\), то \(|\cos x| = -\cos x\), и уравнение примет вид:
\(-\sin^2x + \sqrt{2} \cos x + 2 = 0\).

9. Рассмотрим сначала первый случай. Подставим \(-\sin^2x\) в уравнение и преобразуем его:
\(-\sin^2x - \sqrt{2} \cos x + 2 = 0 \Rightarrow \sin^2x + \sqrt{2} \cos x - 2 = 0\).

10. Мы получили квадратное уравнение относительно \(\sin x\). Решим его с помощью квадратного трехчлена или формулы дискриминанта.

Выражение \(\sin^2x + \sqrt{2} \cos x - 2\) можно представить в виде:
\((\sin x - 1)(\sin x + 2\sqrt{2}) = 0\).

Отсюда получаем два уравнения:
\(\sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = 1\),
и
\(\sin x + 2\sqrt{2} = 0 \Rightarrow \sin x = -2\sqrt{2}\).

Во втором уравнении значение \(\sin x = -2\sqrt{2}\) не удовлетворяет условиям -1 ≤ \(\sin x\).
Поэтому рассмотрим только первое уравнение \(\sin x = 1\).

11. Найдем все значения \(x\), при которых \(\sin x = 1\). Вспомним свойства тригонометрических функций для синуса и найдем все углы, которые удовлетворяют условию:

- В первом квадранте \(\sin x = 1\) угол равен \(\frac{\pi}{2}\).
- Во втором квадранте \(\sin x = 1\) угол равен \(\frac{3\pi}{2}\).
- В третьем квадранте \(\sin x = 1\) угол равен \(\frac{5\pi}{2}\).
- В четвертом квадранте \(\sin x = 1\) угол равен \(\frac{7\pi}{2}\).

12. Теперь рассмотрим второй случай. Преобразуем уравнение \(-\sin^2x + \sqrt{2} \cos x + 2 = 0\):
\(-\sin^2x + \sqrt{2} \cos x + 2 = 0 \Rightarrow \sin^2x - \sqrt{2} \cos x - 2 = 0\).

13. Найдем все значения \(x\), при которых \(\sin x = -1\) (второй случай). Вспомним свойства тригонометрических функций для синуса и найдем все углы, которые удовлетворяют условию:

- В первом квадранте \(\sin x = -1\) угол равен \(\frac{3\pi}{2}\).
- В третьем квадранте \(\sin x = -1\) угол равен \(\frac{7\pi}{2}\).

14. Итак, у нас получились следующие значения \(x\), удовлетворяющие заданному уравнению и находящиеся в интервале \((-5\pi; -\frac{7\pi}{2})\):
\(x_1 = \frac{\pi}{2}\),
\(x_2 = \frac{3\pi}{2}\),
\(x_3 = \frac{5\pi}{2}\),
\(x_4 = \frac{7\pi}{2}\).

При желании можно подставить найденные значения \(x\) обратно в исходное уравнение, чтобы проверить, что они удовлетворяют ему.