Какие значения x удовлетворяют уравнению [tex]log_{sinx}(cos2x-sinx+1)=2[/tex]?

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

1. Первым шагом, чтобы найти значения x, удовлетворяющие уравнению, мы сначала применим основное свойство логарифмов: [tex]log_{b}(a) = c[/tex] эквивалентно [tex]b^{c} = a[/tex].

Применяя это свойство к данному уравнению, получим:
\[sinx^{2} = cos2x - sinx + 1\]

2. Далее мы преобразуем уравнение, чтобы получить выражение только синусов и косинусов одного угла.

Используя тригонометрическую формулу для косинуса удвоенного угла, получим:
\[sinx^{2} = 2cos^{2}x - sinx + 1\]
\[sinx^{2} = 2(1 - sin^{2}x) - sinx + 1\]
\[sinx^{2} = 2 - 2sin^{2}x - sinx + 1\]
\[2sin^{2}x + sinx - 1 = 0\]

3. Теперь у нас есть квадратное уравнение вида \(ax^{2} + bx + c = 0\), где \(a = 2\), \(b = 1\) и \(c = -1\).

Мы можем решить это уравнение, используя формулу дискриминанта:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}\]

Подставляя значения, получим:
\[x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(2)(-1)}}{2(2)}\]
\[x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4}\]
\[x = \frac{-1 \pm 3}{4}\]

4. Разделив результат на два случая, мы получим два возможных значения x:

При \(x = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

и

При \(x = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1\).

Таким образом, значения x, удовлетворяющие заданному уравнению, являются \(x = \frac{1}{2}\) и \(x = -1\).