Какие значения x удовлетворяют неравенству (x-1)(x-5)≤0 и х> 2, при условии |х|≤

Неравенство, которое дано в задаче, имеет вид \((x-1)(x-5) \leq 0\) при условии \(x > 2\) и \(|x| \leq 5\). Давайте решим его пошагово.

1. Прежде всего, обратим внимание на условие \(|x| \leq 5\), что означает, что \(x\) находится в диапазоне от -5 до 5 включительно. Это ограничение помогает нам определить диапазоны значений \(x\), которые нам нужны, чтобы удовлетворить условию.

2. Теперь посмотрим на неравенство \((x-1)(x-5) \leq 0\). Чтобы понять, какие значения \(x\) удовлетворяют этому неравенству, воспользуемся методом интервалов.

3. Начнем с определения критических точек, где выражение \((x-1)(x-5)\) равно 0. Решим уравнение \((x-1)(x-5) = 0\).

\((x-1)(x-5) = 0\) равносильно двум уравнениям: \(x-1 = 0\) или \(x-5 = 0\).

Решим их по отдельности:

Для \(x-1 = 0\) получаем \(x = 1\).

Для \(x-5 = 0\) получаем \(x = 5\).

Таким образом, у нас есть две критические точки: \(x = 1\) и \(x = 5\).

4. Создадим интервалы на числовой прямой, основываясь на найденных критических точках и ограничениях на \(x\) из условия.

- Если \(x < 1\), тогда оба множителя \((x-1)\) и \((x-5)\) будут отрицательными, и произведение будет положительным.

- Если \(1 < x < 5\), только множитель \((x-5)\) будет отрицательным, и произведение будет отрицательным.

- Если \(x > 5\), оба множителя будут положительными, и произведение будет снова положительным.

- Между критическими точками \(1\) и \(5\), включительно, произведение будет отрицательным.

На основании этого рассмотрим различные интервалы значения \(x\) в соответствии с результатами умножения \((x-1)(x-5)\):

- Интервал 1: \(-\infty < x < 1\), произведение \((x-1)(x-5)\) положительное.
- Интервал 2: \(1 \leq x \leq 5\), произведение \((x-1)(x-5)\) отрицательное.
- Интервал 3: \(x > 5\), произведение \((x-1)(x-5)\) положительное.

5. Теперь учтем дополнительное условие \(x > 2\). Из него следует, что \(x\) должно быть больше 2. Тогда рассмотрим интервалы, которые соответствуют и этому условию, и ограничению \(|x| \leq 5\):

- Отбросим интервал 1, так как он не удовлетворяет условию \(x > 2\).
- В интервале 2: \(1 \leq x \leq 5\) ограничение \(x > 2\) выполняется, так что оставляем его.
- Интервал 3: \(x > 5\) - такой интервал не удовлетворяет условию \(x > 2\).

6. В итоге мы получаем, что значения \(x\) удовлетворяющие неравенству \((x-1)(x-5) \leq 0\), \(x > 2\) и \(|x| \leq 5\) находятся в интервале: \(1 \leq x \leq 5\), где \(x\) не равно 5.