Из 8 различных планет на Межгалактический Конгресс прибыло двадцать пять инопланетян. Подтвердите, что не менее

Чтобы подтвердить, что не менее 4 инопланетян являются представителями одной планеты, мы можем использовать принцип Дирихле или "парадокс ящиков". Принцип Дирихле утверждает, что если \( n \) объектов размещаются в \( m \) контейнерах, то хотя бы один из контейнеров содержит не менее \( \left\lceil \frac{n}{m} \right\rceil \) объектов.

В данном случае, у нас есть 8 различных планет и 25 инопланетян. Мы хотим найти, какое наименьшее количество инопланетян может быть представителями одной планеты.

Если бы только 3 инопланетянина были представителями одной планеты, то для каждого инопланетянина осталось бы только \( 25 - 3 = 22 \) планет, так как они должны быть представителями разных планет. Таким образом, мы получили бы \( 3 \times 22 = 66 \) комбинаций планет и инопланетян.

Однако, у нас всего 8 различных планет, поэтому невозможно, чтобы все 66 комбинаций были уникальными. Это противоречит принципу Дирихле. Следовательно, по меньшей мере 4 инопланетянина являются представителями одной планеты.

Для более формального подтверждения, рассмотрим следующие комбинации инопланетян и планет:

- Представители планеты A: \( A_1, A_2, A_3, A_4 \)
- Представители планеты B: \( B_1, B_2, B_3 \)
- Представитель планеты C: \( C \)
- Представитель планеты D: \( D \)
- Представитель планеты E: \( E \)
- Представитель планеты F: \( F \)
- Представитель планеты G: \( G \)
- Представитель планеты H: \( H \)

В этом случае, у нас есть 4 представителя планеты A, 3 представителя планеты B и по 1 представителю каждой из оставшихся планет. Общее количество инопланетян:

\( 4 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 13 \)

Мы видим, что у нас осталось 25 - 13 = 12 инопланетян, которые могут представлять различные планеты. Следовательно, мы доказали, что не менее 4 инопланетян являются представителями одной планеты.