Какие значения x соответствуют возрастанию функции y=2x^5-5x^4?

Чтобы определить значения \( x \), для которых функция \( y = 2x^5 - 5x^4 \) возрастает, нам нужно проанализировать производную этой функции. Возрастание функции соответствует положительным значениям производной. Таким образом, нам понадобится вычислить производную функции \( y \), приравнять ее к нулю и определить интервалы, на которых производная положительна.

Шаг 1: Вычислим производную функции \( y \) по \( x \). Чтобы найти производную степенной функции, мы можем использовать правило степенной функции и правило суммы и разности производных.

Правило степенной функции гласит: \((x^n)" = n \cdot x^{n-1}\)

Применив это правило к каждому слагаемому, получим:

\[
y" = (2x^5)" - (5x^4)" \\
y" = 10x^4 - 20x^3
\]

Шаг 2: Решим уравнение \(y" = 0\) для нахождения точек экстремума функции.

\[
10x^4 - 20x^3 = 0 \\
10x^4 = 20x^3 \\
x^4 = 2x^3
\]

Так как в уравнении есть общий множитель \(x^3\), мы можем разделить обе части уравнения на \(x^3\):

\[
x^4/x^3 = 2
\]

Сокращаем степени и получаем:

\[
x = 2
\]

Шаг 3: Делаем знаковую линию, чтобы определить, когда производная положительна или отрицательна.

\[
\begin{array}{c|cccc}
& (-\infty, 0) & (0, 2) & (2, +\infty) \\
\hline
y" & ? & ? & ? \\
\end{array}
\]

Шаг 4: Подставим в тестовую точку из каждого интервала в производную \(y"\) и определим знак производной.

- Возьмем \(x = -1\) из интервала \((-\infty, 0)\):

\[
10(-1)^4 - 20(-1)^3 = 10 - (-20) = 30 > 0
\]

- Возьмем \(x = 1\) из интервала \((0, 2)\):

\[
10(1)^4 - 20(1)^3 = 10 - 20 = -10 < 0
\]

- Возьмем \(x = 3\) из интервала \((2, +\infty)\):

\[
10(3)^4 - 20(3)^3 = 10 \cdot 81 - 20 \cdot 27 = 810 - 540 = 270 > 0
\]

Шаг 5: Отметим интервалы, в которых производная положительна или отрицательна.

\[
\begin{array}{c|cccc}
& (-\infty, 0) & (0, 2) & (2, +\infty) \\
\hline
y" & + & - & + \\
\end{array}
\]

Шаг 6: Определим значения \(x\), при которых функция \(y = 2x^5 - 5x^4\) возрастает. Это соответствует интервалам, где производная положительна.

\[
(-\infty, 0) \cup (2, +\infty)
\]

Таким образом, значения \(x\), для которых функция \(y = 2x^5 - 5x^4\) возрастает, находятся в интервалах \((- \infty, 0)\) и \((2, +\infty)\).