Rewritten question text:
Given: f(x) = {x^2 + 4x + 3, if x ∈ [-5;0]; sqrt(x+1) + 2, if x ∈ (0;3]
Plot the graph of this function. Find the intervals of increasing and decreasing, extrema (i.e. maximums and minimums) of the function, the largest and smallest values of the function, intervals of sign consistency of the function, parity, zeros of the function, and points of intersection with the x and y-axis.
1. Interval of increasing function: x ∈ (-1;3) x ∈ [-2;3] x ∈ (-2;3)
Interval of decreasing function: x ∈ [-5;-2) x ∈ (-5;-3) x ∈ [-5;-2] x ∈ (-5;-2)
2. Extremum of the function (enter a whole number - positive or negative - in the corresponding window): f( ) = . This is the maximum of the function.
Given: f(x) = {x^2 + 4x + 3, if x ∈ [-5;0]; sqrt(x+1) + 2, if x ∈ (0;3]
Plot the graph of this function. Find the intervals of increasing and decreasing, extrema (i.e. maximums and minimums) of the function, the largest and smallest values of the function, intervals of sign consistency of the function, parity, zeros of the function, and points of intersection with the x and y-axis.
1. Interval of increasing function: x ∈ (-1;3) x ∈ [-2;3] x ∈ (-2;3)
Interval of decreasing function: x ∈ [-5;-2) x ∈ (-5;-3) x ∈ [-5;-2] x ∈ (-5;-2)
2. Extremum of the function (enter a whole number - positive or negative - in the corresponding window): f( ) = . This is the maximum of the function.
Letuchiy_Fotograf
Для начала, построим график данной функции.
График функции разделен на две части: одна для интервала \([-5;0]\), а другая для интервала \((0;3]\).
На интервале \([-5;0]\) функция задана выражением \(f(x) = x^2 + 4x + 3\). Для построения графика на этом интервале, мы можем использовать методы для построения параболы. Парабола с положительным коэффициентом при \(x^2\) открывается вверх, что означает, что график будет иметь выгнутую вверх форму. Для вычисления допустимых значений \(x\) на этом интервале, нам нужно учесть условие \(x \in [-5;0]\).
Для интервала \((0;3]\) функция задана выражением \(f(x) = \sqrt{x+1} + 2\). Мы знаем, что корень из \(x+1\) будет корректно определен только при \(x \geq -1\), поэтому на этом интервале мы должны учесть условие \(x > 0\). График этой части функции будет иметь форму кривой, приближенно напоминающей половину параболы.
Теперь перейдем к поиску интервалов возрастания и убывания функции.
Для интервала возрастания функции, нам нужно найти такие значения \(x\), при которых \(f"(x) > 0\).
Вычислим производную функции \(f(x)\) и найдем ее корни, чтобы определить точки изменения возрастания нашей функции.
Производная функции на интервале \([-5;0]\) равна:
\[f"(x) = 2x + 4\]
Производная функции на интервале \((0;3]\) равна:
\[f"(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}\]
Найдем корни производной на каждом из интервалов.
Для интервала \([-5;0]\):
\[2x + 4 = 0 \implies x = -2\]
Для интервала \((0;3]\):
\[\frac{1}{2\sqrt{x+1}} = 0 \implies \text{корни отсутствуют, так как выражение не может быть равно нулю}\]
Таким образом, интервал возрастания функции - это \((-2;3]\).
Теперь найдем экстремумы функции, то есть максимумы и минимумы.
Для определения экстремумов, нам нужно исследовать точки, где производная функции обращается в нуль или неопределена.
Для интервала \([-5;0]\):
\[2x + 4 = 0 \implies x = -2\]
Для значения \(x = -2\), функция имеет минимум.
Для интервала \((0;3]\), производная не имеет нулевых значений или неопределенных точек.
Таким образом, наша функция имеет минимум при \(x = -2\).
Для поиска наибольших и наименьших значений функции, мы должны проверить значения функции на концах каждого интервала.
Для интервала \([-5;0]\):
\[f(-5) = (-5)^2 + 4(-5) + 3 = 25 - 20 + 3 = 8\]
\[f(0) = 0^2 + 4(0) + 3 = 3\]
Для интервала \((0;3]\):
\[f(0) = \sqrt{0+1} + 2 = \sqrt{1} + 2 = 1 + 2 = 3\]
\[f(3) = \sqrt{3+1} + 2 = \sqrt{4} + 2 = 2 + 2 = 4\]
Таким образом, наибольшее значение функции равно 4, а наименьшее значение - 3.
Перейдем к интервалам однозначности функции.
Функция будет положительной на тех интервалах, где \(f(x) > 0\), и отрицательной на интервалах, где \(f(x) < 0\).
Для интервала \([-5;0]\):
\[f(-5) = 8 > 0\]
\[f(0) = 3 > 0\]
Таким образом, на интервале \([-5;0]\) функция положительная.
Для интервала \((0;3]\):
\[f(0) = 3 > 0\]
\[f(3) = 4 > 0\]
Таким образом, на интервале \((0;3]\) функция также положительная.
Мы проверили оба интервала, и функция положительна на каждом из них.
Следующим шагом является определение четности функции. Для этого мы проверим, является ли функция симметричной относительно оси ординат, т.е. \(f(x) = f(-x)\).
Для интервала \([-5;0]\):
\[f(x) \neq f(-x)\]
Таким образом, функция не является четной на этом интервале.
Для интервала \((0;3]\):
\[f(x) \neq f(-x)\]
Также функция не является четной на этом интервале.
Теперь найдем нули функции - точки, где \(f(x) = 0\).
Для интервала \([-5;0]\):
\[x^2 + 4x + 3 = 0\]
\[D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4\]
\[x_1 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 + 2}{2} = -1\]
\[x_2 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 - 2}{2} = -3\]
Таким образом, на интервале \([-5;0]\) функция имеет два нуля: -1 и -3.
Для интервала \((0;3]\):
\(\sqrt{x+1} + 2 = 0\)
Здесь необходимо отметить, что корень квадратный от неотрицательного числа всегда положителен. Следовательно, корень суммы \(x+1\) будет равен нулю только тогда, когда \(x+1 = 0\). Отсюда следует, что у функции нет нулей на интервале \((0;3]\).
Теперь найдем точки пересечения с осью абсцисс (x-осью). Такие точки будут теми же, что и нули функции.
Точки пересечения с осью абсцисс на интервале \([-5;0]\) - это -1 и -3.
Теперь найдем точки пересечения с осью ординат (y-осью). Для этого нужно найти значение функции при \(x = 0\).
\[f(0) = 3\]
Таким образом, точка пересечения с осью ординат имеет координаты (0, 3).
Чтобы подытожить:
1. Интервал возрастания функции: \(x \in (-2;3]\)
2. Интервал убывания функции: \(x \in [-5;-2)\)
3. Экстремумы функции: минимум при \(x = -2\)
4. Наибольшее значение функции: 4
5. Наименьшее значение функции: -3
6. Интервалы однозначности функции: функция положительна на интервалах \([-5;0]\) и \((0;3]\)
7. Функция не является четной
8. Нули функции: -1 и -3 на интервале \([-5;0]\)
9. Точка пересечения с осью абсцисс: -1 и -3
10. Точка пересечения с осью ординат: (0, 3)
График функции разделен на две части: одна для интервала \([-5;0]\), а другая для интервала \((0;3]\).
На интервале \([-5;0]\) функция задана выражением \(f(x) = x^2 + 4x + 3\). Для построения графика на этом интервале, мы можем использовать методы для построения параболы. Парабола с положительным коэффициентом при \(x^2\) открывается вверх, что означает, что график будет иметь выгнутую вверх форму. Для вычисления допустимых значений \(x\) на этом интервале, нам нужно учесть условие \(x \in [-5;0]\).
Для интервала \((0;3]\) функция задана выражением \(f(x) = \sqrt{x+1} + 2\). Мы знаем, что корень из \(x+1\) будет корректно определен только при \(x \geq -1\), поэтому на этом интервале мы должны учесть условие \(x > 0\). График этой части функции будет иметь форму кривой, приближенно напоминающей половину параболы.
Теперь перейдем к поиску интервалов возрастания и убывания функции.
Для интервала возрастания функции, нам нужно найти такие значения \(x\), при которых \(f"(x) > 0\).
Вычислим производную функции \(f(x)\) и найдем ее корни, чтобы определить точки изменения возрастания нашей функции.
Производная функции на интервале \([-5;0]\) равна:
\[f"(x) = 2x + 4\]
Производная функции на интервале \((0;3]\) равна:
\[f"(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}\]
Найдем корни производной на каждом из интервалов.
Для интервала \([-5;0]\):
\[2x + 4 = 0 \implies x = -2\]
Для интервала \((0;3]\):
\[\frac{1}{2\sqrt{x+1}} = 0 \implies \text{корни отсутствуют, так как выражение не может быть равно нулю}\]
Таким образом, интервал возрастания функции - это \((-2;3]\).
Теперь найдем экстремумы функции, то есть максимумы и минимумы.
Для определения экстремумов, нам нужно исследовать точки, где производная функции обращается в нуль или неопределена.
Для интервала \([-5;0]\):
\[2x + 4 = 0 \implies x = -2\]
Для значения \(x = -2\), функция имеет минимум.
Для интервала \((0;3]\), производная не имеет нулевых значений или неопределенных точек.
Таким образом, наша функция имеет минимум при \(x = -2\).
Для поиска наибольших и наименьших значений функции, мы должны проверить значения функции на концах каждого интервала.
Для интервала \([-5;0]\):
\[f(-5) = (-5)^2 + 4(-5) + 3 = 25 - 20 + 3 = 8\]
\[f(0) = 0^2 + 4(0) + 3 = 3\]
Для интервала \((0;3]\):
\[f(0) = \sqrt{0+1} + 2 = \sqrt{1} + 2 = 1 + 2 = 3\]
\[f(3) = \sqrt{3+1} + 2 = \sqrt{4} + 2 = 2 + 2 = 4\]
Таким образом, наибольшее значение функции равно 4, а наименьшее значение - 3.
Перейдем к интервалам однозначности функции.
Функция будет положительной на тех интервалах, где \(f(x) > 0\), и отрицательной на интервалах, где \(f(x) < 0\).
Для интервала \([-5;0]\):
\[f(-5) = 8 > 0\]
\[f(0) = 3 > 0\]
Таким образом, на интервале \([-5;0]\) функция положительная.
Для интервала \((0;3]\):
\[f(0) = 3 > 0\]
\[f(3) = 4 > 0\]
Таким образом, на интервале \((0;3]\) функция также положительная.
Мы проверили оба интервала, и функция положительна на каждом из них.
Следующим шагом является определение четности функции. Для этого мы проверим, является ли функция симметричной относительно оси ординат, т.е. \(f(x) = f(-x)\).
Для интервала \([-5;0]\):
\[f(x) \neq f(-x)\]
Таким образом, функция не является четной на этом интервале.
Для интервала \((0;3]\):
\[f(x) \neq f(-x)\]
Также функция не является четной на этом интервале.
Теперь найдем нули функции - точки, где \(f(x) = 0\).
Для интервала \([-5;0]\):
\[x^2 + 4x + 3 = 0\]
\[D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4\]
\[x_1 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 + 2}{2} = -1\]
\[x_2 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 - 2}{2} = -3\]
Таким образом, на интервале \([-5;0]\) функция имеет два нуля: -1 и -3.
Для интервала \((0;3]\):
\(\sqrt{x+1} + 2 = 0\)
Здесь необходимо отметить, что корень квадратный от неотрицательного числа всегда положителен. Следовательно, корень суммы \(x+1\) будет равен нулю только тогда, когда \(x+1 = 0\). Отсюда следует, что у функции нет нулей на интервале \((0;3]\).
Теперь найдем точки пересечения с осью абсцисс (x-осью). Такие точки будут теми же, что и нули функции.
Точки пересечения с осью абсцисс на интервале \([-5;0]\) - это -1 и -3.
Теперь найдем точки пересечения с осью ординат (y-осью). Для этого нужно найти значение функции при \(x = 0\).
\[f(0) = 3\]
Таким образом, точка пересечения с осью ординат имеет координаты (0, 3).
Чтобы подытожить:
1. Интервал возрастания функции: \(x \in (-2;3]\)
2. Интервал убывания функции: \(x \in [-5;-2)\)
3. Экстремумы функции: минимум при \(x = -2\)
4. Наибольшее значение функции: 4
5. Наименьшее значение функции: -3
6. Интервалы однозначности функции: функция положительна на интервалах \([-5;0]\) и \((0;3]\)
7. Функция не является четной
8. Нули функции: -1 и -3 на интервале \([-5;0]\)
9. Точка пересечения с осью абсцисс: -1 и -3
10. Точка пересечения с осью ординат: (0, 3)
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
