Какие значения x необходимы, чтобы векторы a ⃗ + x b ⃗ и a ⃗ были перпендикулярными?

Чтобы векторы \(\vec{a} + x\vec{b}\) и \(\vec{a}\) были перпендикулярными, необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю. Скалярное произведение двух векторов равно произведению модулей векторов на косинус угла между ними.

Мы можем записать это условие в виде уравнения:
\((\vec{a} + x\vec{b}) \cdot \vec{a} = 0\)

Давайте разберемся с этим уравнением. Скалярное произведение \((\vec{a} + x\vec{b}) \cdot \vec{a}\) можно разложить следующим образом:
\((\vec{a} \cdot \vec{a}) + (x\vec{b} \cdot \vec{a}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + x (\vec{b} \cdot \vec{a})\)

Теперь мы можем подставить значения модулей \(\vec{a} \cdot \vec{a}\) и \(\vec{b} \cdot \vec{a}\). Модуль вектора равен квадратному корню из скалярного произведения вектора на самого себя. Учитывая это, получим:
\(\|\vec{a}\|^2 + x (\|\vec{b}\| \cdot \|\vec{a}\| \cdot \cos{\theta}) = 0\),

где \(\|\vec{a}\|\) и \(\|\vec{b}\|\) - длины векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), а \(\theta\) - угол между ними.

Для перпендикулярности векторов это уравнение примет следующий вид:
\(\|\vec{a}\|^2 + x (\|\vec{b}\| \cdot \|\vec{a}\| \cdot \cos{90^\circ}) = 0\),
\(\|\vec{a}\|^2 + x \cdot 0 = 0\),
\(\|\vec{a}\|^2 = 0\).

Как мы видим, для перпендикулярности векторов \(\vec{a} + x\vec{b}\) и \(\vec{a}\) необходимо, чтобы модуль вектора \(\vec{a}\) равнялся нулю. Однако, векторы не могут иметь нулевую длину, поэтому нет таких значений \(x\), при которых векторы \(\vec{a} + x\vec{b}\) и \(\vec{a}\) будут перпендикулярными.