Какие значения x и y удовлетворяют системе уравнений xy=-12 и (x-2)(y-4)=-8?

Чтобы найти значения \(x\) и \(y\), которые удовлетворяют системе уравнений \(xy=-12\) и \((x-2)(y-4)=-8\), нам нужно решить эту систему пошагово.

Начнем с первого уравнения: \(xy=-12\). Мы можем представить это уравнение в виде \(y = \frac{-12}{x}\). Теперь мы можем подставить это выражение для \(y\) во второе уравнение.

Заменим \(y\) в уравнении \((x-2)(y-4)=-8\), получив \((x-2)\left(\frac{-12}{x}-4\right)=-8\).

Упростим это уравнение, раскрыв скобки и упростив выражение:

\[\left(\frac{-12(x-2)}{x}\right)-4(x-2)=-8\]

Далее домножим обе части на \(x\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[-12(x-2)-4(x-2)(x)= -8x\]

Продолжим упрощение:

\[-12x+24-4(x^2-2x)=-8x\]

\[-12x+24-4x^2+8x=-8x\]

\[-4x^2-12x+24=0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Для решения этого уравнения мы можем использовать квадратную формулу \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\). В нашем случае, коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\) равны -4, -12 и 24 соответственно.

Рассчитаем значения \(x\) по формуле квадратного уравнения:

\[x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2-4(-4)(24)}}{2(-4)}\]

\[x = \frac{12 \pm \sqrt{144+384}}{-8}\]

\[x = \frac{12 \pm \sqrt{528}}{-8}\]

Упростим этот корень:

\[x = \frac{12 \pm 2\sqrt{33}}{-8}\]

Теперь мы можем найти значение \(y\) для каждого значения \(x\). Подставим \(x\) в первое уравнение \(xy=-12\):

\[y = \frac{-12}{x}\]

\[y = \frac{-12}{\frac{12 \pm 2\sqrt{33}}{-8}}\]

\[y = \frac{-96}{12 \pm 2\sqrt{33}}\]

Упростим это значение:

\[y = \frac{-8}{1 \pm \frac{\sqrt{33}}{6}}\]

Таким образом, у нас есть два возможных решения:

\(x_1 = \frac{12 + 2\sqrt{33}}{-8}\) и \(y_1 = \frac{-8}{1 + \frac{\sqrt{33}}{6}}\)

\(x_2 = \frac{12 - 2\sqrt{33}}{-8}\) и \(y_2 = \frac{-8}{1 - \frac{\sqrt{33}}{6}}\)

Или в более упрощенной форме:

\(x_1 = \frac{-3 + \sqrt{33}}{2}\) и \(y_1 = \frac{-2}{1 + \frac{\sqrt{33}}{6}}\)

\(x_2 = \frac{-3 - \sqrt{33}}{2}\) и \(y_2 = \frac{-2}{1 - \frac{\sqrt{33}}{6}}\)

Это объясняет решение системы уравнений и даёт значения \(x\) и \(y\), которые удовлетворяют обоим уравнениям.