Какие значения x и y удовлетворяют системе уравнений x²+12xy +36y²=16 и x-6y=-8?

Для того чтобы найти значения \(x\) и \(y\), удовлетворяющие данной системе уравнений, мы можем использовать метод подстановки или метод исключения. Давайте воспользуемся методом подстановки.

Исходная система уравнений:
\[\begin{cases}
x^2+12xy+36y^2=16\\
x-6y=-8
\end{cases}\]

Давайте решим второе уравнение относительно \(x\):
\[x = -8 + 6y\]

Теперь подставим это значение \(x\) в первое уравнение:
\[(-8 + 6y)^2 + 12(-8 + 6y)y + 36y^2 = 16\]

Раскроем выражения и упростим уравнение:
\[64 - 96y + 36y^2 + 12(-8 + 6y)y + 36y^2 = 16\]

Далее сгруппируем по степеням \(y\):
\[72y^2 - 96y - 144 = 0\]

Теперь решим полученное квадратное уравнение относительно \(y\). Мы можем использовать формулу дискриминанта и квадратного корня.

Формула дискриминанта:
\[D = b^2 - 4ac\]

Где \(a = 72\), \(b = -96\), и \(c = -144\). Подставим значения:
\[D = (-96)^2 - 4 \cdot 72 \cdot (-144)\]

Рассчитаем дискриминант:
\[D = 9216 + 41472\]

\[D = 50688\]

Теперь, когда мы нашли значение дискриминанта, можем продолжить для нахождения значения \(y\).

Формула для нахождения корней квадратного уравнения:
\[y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения:
\[y = \frac{-(-96) \pm \sqrt{50688}}{2 \cdot 72}\]

\[y = \frac{96 \pm \sqrt{50688}}{144}\]

Мы можем упростить эту дробь, поделив числитель и знаменатель на наибольший общий делитель, который в данном случае является 48:
\[y = \frac{2 \pm \sqrt{1266}}{3}\]

Теперь у нас есть два возможных значения \(y\): \(y_1 = \frac{2 + \sqrt{1266}}{3}\) и \(y_2 = \frac{2 - \sqrt{1266}}{3}\).

Далее, для каждого значения \(y\), мы можем найти соответствующее значение \(x\) вторым уравнением.

Для \(y_1\):
\[x = -8 + 6y_1\]
\[x = -8 + 6 \cdot \frac{2 + \sqrt{1266}}{3}\]
\[x = -8 + 4 + 2\sqrt{1266}\]
\[x = -4 + 2\sqrt{1266}\]

Для \(y_2\):
\[x = -8 + 6y_2\]
\[x = -8 + 6 \cdot \frac{2 - \sqrt{1266}}{3}\]
\[x = -8 + 4 - 2\sqrt{1266}\]
\[x = -4 - 2\sqrt{1266}\]

Таким образом, значения \(x\) и \(y\), удовлетворяющие данной системе уравнений, равны:
\((x_1, y_1) = (-4 + 2\sqrt{1266}, \frac{2 + \sqrt{1266}}{3})\) и
\((x_2, y_2) = (-4 - 2\sqrt{1266}, \frac{2 - \sqrt{1266}}{3})\).