Какие значения следует присвоить коэффициентам a, b, c и d в уравнении ax3+bx2+cx+d=0, чтобы его корнями были

Чтобы коэффициентам a, b, c и d в уравнении \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) соответствовали корни 1, \(\frac{{-1 \pm \sqrt{3}}}{2}\), мы можем использовать метод факторизации, основанный на факте, что если числа \(x_1, x_2, x_3\) являются корнями уравнения \(ax^3+bx^2+cx+d=0\), то это уравнение можно записать в виде произведения множителей вида \((x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0\).

В данном случае, имея корни 1, \(\frac{{-1 \pm \sqrt{3}}}{2}\), мы можем записать уравнение в виде:

\((x - 1)\left(x - \left(\frac{{-1 + \sqrt{3}}}{2}\right)\right)\left(x - \left(\frac{{-1 - \sqrt{3}}}{2}\right)\right)=0\)

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, мы получаем:

\((x - 1)\left(x^2 - x\left(\frac{{-1 + \sqrt{3}}}{2}\right) - x\left(\frac{{-1 - \sqrt{3}}}{2}\right) + \left(\frac{{-1 + \sqrt{3}}}{2}\right)\left(\frac{{-1 - \sqrt{3}}}{2}\right)\right)=0\)

Далее, упрощая выражение, получаем:

\((x - 1)\left(x^2 + x + \frac{1}{2}\right)=0\)

Теперь, чтобы получить уравнение \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) с данными корнями, мы можем раскрыть скобку и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях \(x\). Получаем:

\(a = 1\)
\(b = 1\)
\(c = \frac{1}{2}\)
\(d = 0\)

Таким образом, значения коэффициентов \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = \frac{1}{2}\) и \(d = 0\) будут соответствовать уравнению \(x^3 + x^2 + \frac{1}{2}x = 0\) с корнями 1, \(\frac{{-1 \pm \sqrt{3}}}{2}\).