Какие значения переменных x и y удовлетворяют системе уравнений x-y=7 и lg(2x+y+2)=1?

Хорошо, решим данную систему уравнений по шагам. Начнем с первого уравнения:

\(x - y = 7\)

Чтобы найти значения переменных, мы можем использовать метод подстановки или метод сложения/вычитания. В данном случае, применим метод сложения/вычитания. Для этого приведем уравнение к виду, где значения одной из переменных можно выразить через другую. Добавим уравнения, чтобы избавиться от переменной \(y\).

Первое уравнение: \(x - y = 7\) (1)
Второе уравнение: \(lg(2x+y+2) = 1\) (2)

Уравнение (2), в котором присутствует логарифм, можно переписать в эквивалентной форме, используя определение логарифма:

\(2x + y + 2 = 10^1\)

Теперь у нас есть система уравнений:

\[
\begin{cases}
x - y = 7 \\
2x + y + 2 = 10
\end{cases}
\]

Следующим шагом применим метод сложения/вычитания для решения системы. Для этого сложим эти уравнения:

\((x - y) + (2x + y + 2) = 7 + 10\)

Упростим выражение:

\(3x + 2 = 17\)

Теперь избавимся от константы, вычтя 2 из обеих сторон уравнения:

\(3x = 15\)

Делим обе стороны уравнения на 3:

\(x = 5\)

Теперь найдем значение переменной \(y\), подставив \(x = 5\) в одно из исходных уравнений. Возьмем первое уравнение:

\(x - y = 7\)

Подставим \(x = 5\):

\(5 - y = 7\)

Вычтем 5 из обеих сторон:

\(-y = 7 - 5\)

Упростим:

\(-y = 2\)

Теперь, чтобы найти \(y\), вынесем \(-1\) за скобку:

\(y = -2\)

Таким образом, решение данной системы уравнений состоит из \(x = 5\) и \(y = -2\).