Какие значения переменной t делают выражение √(t−6)(t+2) осмысленным?

Чтобы определить, какие значения переменной \(t\) делают выражение \(\sqrt{(t-6)(t+2)}\) осмысленным, нужно рассмотреть условия, при которых подкоренное выражение \((t-6)(t+2)\) будет положительным или нулевым.

Используя свойства алгебры, мы можем разложить данное подкоренное выражение:
\[
(t-6)(t+2) = t^2 - 6t + 2t - 12 = t^2 - 4t - 12
\]

Теперь давайте решим получившееся уравнение:
\[
t^2 - 4t - 12 \geq 0
\]

Мы можем факторизовать это уравнение:
\[
(t-6)(t+2) \geq 0
\]

Для того чтобы выражение \(\sqrt{(t-6)(t+2)}\) было осмысленным, нужно найти значения \(t\), при которых \((t-6)(t+2) \geq 0\).

Теперь рассмотрим четыре возможных случая:

1. Если оба множителя \((t-6)\) и \((t+2)\) являются положительными числами, то и их произведение будет положительным:
\[
\begin{cases}
t - 6 > 0 \implies t > 6 \\
t + 2 > 0 \implies t > -2 \\
\end{cases}
\]
Имеем интервал \(t > 6\).

2. Если оба множителя \((t-6)\) и \((t+2)\) являются отрицательными числами, то и их произведение также будет положительным:
\[
\begin{cases}
t - 6 < 0 \implies t < 6 \\
t + 2 < 0 \implies t < -2 \\
\end{cases}
\]
Имеем интервал \(t < -2\).

3. Если один из множителей положителен, а другой отрицателен, то их произведение будет отрицательным:
\[
\begin{cases}
t - 6 > 0 \implies t > 6 \\
t + 2 < 0 \implies t < -2 \\
\end{cases}
\]
В данном случае нет решений, так как оба условия не могут быть удовлетворены.

4. Если и \(t - 6\) и \(t + 2\) равны нулю, то и произведение также будет равно нулю:
\[
\begin{cases}
t - 6 = 0 \implies t = 6 \\
t + 2 = 0 \implies t = -2 \\
\end{cases}
\]
Имеем две осмысленные точки \(t = 6\) и \(t = -2\).

Таким образом, значения переменной \(t\), при которых выражение \(\sqrt{(t-6)(t+2)}\) осмысленно, это \(t > 6\) или \(t < -2\) или \(t = 6\) или \(t = -2\).