Какие значения переменной будут допустимы в выражении х-2 х^2-х (это фракция)?

Для определения допустимых значений переменной в данном выражении, необходимо проанализировать два аспекта: деление на ноль и значение подкоренного выражения.

Деление на ноль возможно, когда знаменатель равен нулю. В данном случае знаменатель представлен выражением $x^2-x$. Чтобы определить значения, при которых знаменатель будет равен нулю, нужно решить уравнение $x^2-x=0$ относительно переменной $x$.

Приведем данное уравнение к виду $x(x-1)=0$. Решив это уравнение, находим два возможных значения переменной: $x=0$ и $x=1$.

Теперь обратимся к выражению в знаменателе. Мы имеем разность двух квадратов $x^2-x$. Для того, чтобы избежать отрицательного числа под знаком корня, необходимо, чтобы значение этого выражения было больше или равно нулю: $x^2-x\ge 0$.

Решим неравенство $x^2-x\ge 0$, используя метод интервалов знакопостоянства. Факторизуем левую часть неравенства: $x(x-1)\ge 0$. Затем анализируем знаки выражения на интервалах (-∞,0), (0,1) и (1,+∞), выбирая одну точку для проверки из каждого интервала.

1. Для интервала (-∞,0) возьмем значение x = -1:
Подставим x = -1 в $x(x-1)$:
$-1(-1-1)=-1\cdot (-2)=2$
Так как значение равно 2, то выражение $x(x-1)$ положительное на этом интервале.

2. Для интервала (0,1) возьмем значение x = 0.5:
Подставим x = 0.5 в $x(x-1)$:
$0.5(0.5-1)=0.5\cdot (-0.5)=-0.25$
Так как значение равно -0.25, то выражение $x(x-1)$ отрицательное на этом интервале.

3. Для интервала (1,+∞) возьмем значение x = 2:
Подставим x = 2 в $x(x-1)$:
$2(2-1)=2\cdot 1=2$
Так как значение равно 2, то выражение $x(x-1)$ положительное на этом интервале.

Итак, знаки выражения $x(x-1)$ на каждом интервале следующие:
(-∞,0) : +
(0,1) : -
(1,+∞) : +

Теперь мы можем составить таблицу знаков для всего выражения $x-2\sqrt{x(x-1)}$, используя найденные значения:
$$\begin{array}{|cccc|}\hline & x<0& 0<x<1& x>1\\ x-2\sqrt{x(x-1)}& +& -& +\\ \hline\end{array}$$

Таким образом, допустимые значения переменной $x$ в выражении $x-2\sqrt{x(x-1)}$ будут значения, при которых выражение положительное или равно нулю. В нашем случае, допустимыми значениями будут все значения, кроме интервала (0,1), то есть:
$$x\in (-\mathrm{\infty },0]\cup [1,+\mathrm{\infty })$$