Какие значения параметра а должны быть, чтобы уравнение имело ровно два различных корня?

Чтобы уравнение имело ровно два различных корня, дискриминант должен быть положительным. Дискриминант - это выражение, которое находится под знаком корня в формуле для нахождения корней квадратного уравнения. Формула дискриминанта выглядит так: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).

Положительный дискриминант означает, что выражение \(b^2 - 4ac\) должно быть больше нуля. Поскольку в нашем случае \(b^2\) и \(4ac\) всегда неотрицательны, то условие на положительность дискриминанта можно записать так: \(b^2 - 4ac > 0\).

Теперь давайте выразим коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\) через параметр \(a\). Подставим их в формулу для дискриминанта:
\[D = b^2 - 4ac = (2a)^2 - 4(a + 1)(a - 3) = 4a^2 - 4(a^2 - 2a - 3) = 4a^2 - 4a^2 + 8a + 12 = 8a + 12.\]

Теперь нам нужно решить неравенство \(8a + 12 > 0\), чтобы найти значения параметра \(a\), при которых дискриминант положителен. Вычтем 12 из обоих частей неравенства:
\[8a > -12.\]

Далее, разделим обе части неравенства на 8:
\[a > -\frac{12}{8} = -\frac{3}{2}.\]

Таким образом, для того чтобы уравнение имело ровно два различных корня, необходимо и достаточно, чтобы параметр \(a\) был больше \(-\frac{3}{2}\).

Если вам нужен более подробный пример или объяснение, пожалуйста, сообщите.