Какие значения может принимать N, при которых уравнение 12x + 5 = y2 не имеет решений в целых числах? Варианты ответов

Чтобы найти значения N, при которых уравнение \(12x + 5 = y^2\) не имеет решений в целых числах, нам необходимо проанализировать данное уравнение.

Для начала, заметим, что \(12x\) является четным числом для любого значения целого числа \(x\). Поэтому, если \(y^2\) - четное число, то значение \(y\) также должно быть четным.

Теперь давайте рассмотрим уравнение \(12x + 5 = y^2\) по модулю 4. Заметим, что для любого целого числа \(y\), \(y^2\) будет иметь остаток 0 или 1 при делении на 4. Также, остатки \(12x\) и 5 при делении на 4 могут быть только 0 и 1 соответственно.

Таким образом, если мы рассмотрим возможные значения \(y^2\) по модулю 4 и сопоставим их с остатками \(12x\) и 5 при делении на 4, то мы сможем определить значения N, при которых уравнение не имеет решений в целых числах.

Остатки \(y^2\) по модулю 4:

\[
\begin{align*}
0^2 &\equiv 0 \pmod{4} \\
1^2 &\equiv 1 \pmod{4} \\
2^2 &\equiv 0 \pmod{4} \\
3^2 &\equiv 1 \pmod{4}
\end{align*}
\]

Остатки \(12x\) и 5 по модулю 4:

\[
\begin{align*}
12x &\equiv 0 \pmod{4} \\
5 &\equiv 1 \pmod{4}
\end{align*}
\]

Теперь соединим полученные результаты:

\[
\begin{align*}
0 \equiv 0 &\quad \text{(остаток } y^2 \text{)} \\
0 \equiv 0 &\quad \text{(остаток } 12x \text{)} \\
1 \equiv 1 &\quad \text{(остаток } y^2 \text{)} \\
1 \equiv 0 &\quad \text{(остаток } 12x \text{)} \\
0 \equiv 0 &\quad \text{(остаток } y^2 \text{)} \\
1 \equiv 0 &\quad \text{(остаток } 12x \text{)} \\
1 \equiv 1 &\quad \text{(остаток } y^2 \text{)} \\
1 \equiv 0 &\quad \text{(остаток } 12x \text{)}
\end{align*}
\]

Из полученных результатов видно, что уравнение \(12x + 5 = y^2\) не имеет решений в целых числах, когда \(y^2\) и \(12x\) имеют разные остатки при делении на 4. То есть, когда остаток \(y^2\) - 0 или 1, а остаток \(12x\) - 1 или 0.

Исходя из этого рассуждения, при значениях N равных 3 и 4 уравнение \(12x + 5 = y^2\) не имеет решений в целых числах, так как при таких значениях остаток \(12x\) будет равен 0, в то время как остаток \(y^2\) будет равен 1.

Таким образом, верные значения для вариантов ответов это: 3 и 4.