Каково расстояние между основаниями равнобедренной трапеции, если ее диагональ равна 25 см и средняя линия составляет

Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Вначале, давайте разберемся с определением равнобедренной трапеции. Равнобедренная трапеция - это трапеция, у которой две стороны равны друг другу.

2. Зная, что трапеция равнобедренная, мы можем сделать вывод о том, что диагонали этой трапеции тоже равны.

3. В данной задаче мы имеем только одну из диагоналей, которая равна 25 см. Пусть это будет диагональ AC.

4. Для нахождения расстояния между основаниями равнобедренной трапеции, нам понадобится знание о средней линии. Средняя линия равнобедренной трапеции - это отрезок, соединяющий середины оснований.

5. Обозначим середину левого основания как точку D, а середину правого основания как точку E.

6. Так как средняя линия соединяет середины оснований, она параллельна и равна полусумме длин оснований. Обозначим эту полусумму как x.

7. Теперь мы можем разбить трапецию на два треугольника, используя диагонали. Поскольку диагонали равны, мы можем сказать, что треугольники ACD и BCE - равнобедренные.

8. Теперь, зная это, мы можем использовать свойства равнобедренных треугольников. Мы можем сказать, что отрезки AD и BE равны по длине половине длины средней линии (то есть \(\frac{x}{2}\)).

9. Рассмотрим треугольник ACE. Он является прямоугольным треугольником, так как диагональ AC является гипотенузой. Мы знаем длину диагонали AC - 25 см.

10. Если мы присмотримся к треугольнику ACE еще внимательнее, мы увидим, что отрезок AD является его половиной высоты, а отрезок BE является его половиной основания.

11. Вернемся к прямоугольнику ADEC. Он состоит из двух равнобедренных треугольников, с основаниями AD и BE и высотой CD, которая является средней линией трапеции.

12. Учитывая всю эту информацию, мы можем применить теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику ACE: \(AC^2 = AD^2 + CD^2\).

13. Мы знаем, что диагональ AC равна 25 см, а AD равно \(\frac{x}{2}\). Таким образом, получим уравнение: \(25^2 = (\frac{x}{2})^2 + CD^2\).

14. Теперь мы должны найти выражение для CD, используя AD и x. Вспомним, что AD - это половина средней линии, то есть CD равняется \(\frac{x}{2}\).

15. Подставим это значение в предыдущее уравнение и решим его для x: \(25^2 = (\frac{x}{2})^2 + (\frac{x}{2})^2\).

16. Перенесем все на одну сторону уравнения и объединим равные слагаемые: \(625 = \frac{x^2}{4} + \frac{x^2}{4}\).

17. Суммируем дроби: \(625 = \frac{2x^2}{4}\) и делим на 2: \(625 = \frac{x^2}{2}\).

18. Умножаем обе стороны уравнения на 2: \(1250 = x^2\).

19. Извлекаем квадратный корень из обеих сторон уравнения: \(x = \sqrt{1250}\).

20. Сокращаем корень: \(x = \sqrt{250 \cdot 5} = \sqrt{250} \cdot \sqrt{5}\).

21. Упрощаем корень: \(x = 5\sqrt{10}\).

22. Окончательный ответ: расстояние между основаниями равнобедренной трапеции составляет \(5\sqrt{10}\) см.