Какие значения х удовлетворяют неравенству (х^2-4х) +10(^2-4х)+21> =0​?

Решим данное неравенство пошагово:

1. Начнем с заданного неравенства:
$(x^2-4x)+10(x^2-4x)+21\ge 0$

2. Объединим похожие члены:
$11x^2-48x+21\ge 0$

3. Давайте проанализируем знаки коэффициентов. Заметим, что коэффициент $a$ перед $x^2$ положительный, поэтому у нас будет ветвь параболы, открывающаяся вверх.

4. Найдем вершины параболы, используя формулу:
$x=-\frac{b}{2a}$
В нашем случае: $x=-\frac{-48}{2\cdot 11}=\frac{48}{22}=\frac{24}{11}$

5. Построим график параболы и определим, в каких интервалах неравенство будет выполнено или не выполнено.

$$\begin{array}{rl}x<\frac{24}{11}:& (x^2-4x)+10(x^2-4x)+21>0\\ x>\frac{24}{11}:& (x^2-4x)+10(x^2-4x)+21<0\\ x=\frac{24}{11}:& (x^2-4x)+10(x^2-4x)+21=0\end{array}$$

6. Разберемся с каждым интервалом по очереди:
A. Для $x<\frac{24}{11}$:
Заметим, что парабола смотрит вверх и приближается к 0 по мере удаления от вершины. Поэтому, когда $x<\frac{24}{11}$, каждый из трех слагаемых будет положительным числом.
Таким образом, неравенство будет выполняться для всех значений $x$ в этом интервале.

B. Для $x>\frac{24}{11}$:
Заметим, что парабола всегда будет ниже оси $x$ в этом интервале и будет стремиться к отрицательным значениям. Поэтому каждое из трех слагаемых будет отрицательным числом.
Таким образом, неравенство не будет выполняться для всех значений $x$ в этом интервале.

C. Для $x=\frac{24}{11}$:
Подставим $x=\frac{24}{11}$ в исходное неравенство:
$({\left(\frac{24}{11}\right)}^2-\frac{4\cdot 24}{11})+10({\left(\frac{24}{11}\right)}^2-\frac{4\cdot 24}{11})+21$
Вычислим значение и получим:
$\frac{576}{121}-\frac{96}{11}+\frac{240}{11}-\frac{96}{11}+21$
Упростим: $\frac{441}{121}>0$
Таким образом, при $x=\frac{24}{11}$ неравенство выполняется.

7. Окончательно, мы получили, что неравенство $(x^2-4x)+10(x^2-4x)+21\ge 0$ выполнено для всех значений $x$ меньше $\frac{24}{11}$, а также при $x=\frac{24}{11},$ и не выполняется для значений $x$ больше $\frac{24}{11}$.