Какие значения х удовлетворяют неравенству (х^2-4х) +10(^2-4х)+21> =0​?

Решим данное неравенство пошагово:

1. Начнем с заданного неравенства:
\((x^2-4x) + 10(x^2-4x) + 21 \geq 0\)

2. Объединим похожие члены:
\(11x^2 - 48x + 21 \geq 0\)

3. Давайте проанализируем знаки коэффициентов. Заметим, что коэффициент \(a\) перед \(x^2\) положительный, поэтому у нас будет ветвь параболы, открывающаяся вверх.

4. Найдем вершины параболы, используя формулу:
\(x = -\frac{b}{2a}\)
В нашем случае: \(x = -\frac{-48}{2 \cdot 11} = \frac{48}{22} = \frac{24}{11}\)

5. Построим график параболы и определим, в каких интервалах неравенство будет выполнено или не выполнено.

\[
\begin{align*}
x < \frac{24}{11}: & \quad (x^2-4x) + 10(x^2-4x) + 21 > 0\\
x > \frac{24}{11}: & \quad (x^2-4x) + 10(x^2-4x) + 21 < 0\\
x = \frac{24}{11}: & \quad (x^2-4x) + 10(x^2-4x) + 21 = 0\\
\end{align*}
\]

6. Разберемся с каждым интервалом по очереди:
A. Для \(x < \frac{24}{11}\):
Заметим, что парабола смотрит вверх и приближается к 0 по мере удаления от вершины. Поэтому, когда \(x < \frac{24}{11}\), каждый из трех слагаемых будет положительным числом.
Таким образом, неравенство будет выполняться для всех значений \(x\) в этом интервале.

B. Для \(x > \frac{24}{11}\):
Заметим, что парабола всегда будет ниже оси \(x\) в этом интервале и будет стремиться к отрицательным значениям. Поэтому каждое из трех слагаемых будет отрицательным числом.
Таким образом, неравенство не будет выполняться для всех значений \(x\) в этом интервале.

C. Для \(x = \frac{24}{11}\):
Подставим \(x = \frac{24}{11}\) в исходное неравенство:
\(\left(\left(\frac{24}{11}\right)^2-\frac{4 \cdot 24}{11}\right) + 10\left(\left(\frac{24}{11}\right)^2-\frac{4 \cdot 24}{11}\right) + 21\)
Вычислим значение и получим:
\(\frac{576}{121} - \frac{96}{11} + \frac{240}{11} - \frac{96}{11} + 21\)
Упростим: \(\frac{441}{121} > 0\)
Таким образом, при \(x = \frac{24}{11}\) неравенство выполняется.

7. Окончательно, мы получили, что неравенство \((x^2-4x) + 10(x^2-4x) + 21 \geq 0\) выполнено для всех значений \(x\) меньше \(\frac{24}{11}\), а также при \(x = \frac{24}{11},\) и не выполняется для значений \(x\) больше \(\frac{24}{11}\).