Какие значения дополнительных сопротивлений (r1, r2, r3, r4) следует подключить к вольтметру с внутренним

Чтобы решить эту задачу, мы должны использовать формулу для расчета общего сопротивления в цепи, когда добавляются параллельные сопротивления.

Общее сопротивление цепи можно выразить следующей формулой:

\[
\frac{1}{r_{\text{общ}}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} + \frac{1}{r_4} + \frac{1}{r_{\text{внут}}}
\]

где \(r_{\text{общ}}\) - общее сопротивление цепи, \(r_1\), \(r_2\), \(r_3\), \(r_4\) - дополнительные сопротивления, \(r_{\text{внут}}\) - внутреннее сопротивление вольтметра.

Мы хотим, чтобы обеспечить четыре предела измерения (3, 15, 75 и 150 В), и при этом сила тока, проходящая через прибор, была равна \(I\).

Ток, проходящий через цепь, можно выразить следующей формулой:

\(I = \frac{U}{r_{\text{общ}}}\),

где \(U\) - напряжение на вольтметре.

Мы хотим, чтобы \(I\) было постоянным и равным некоторому значению \(I_0\), тогда:

\(\frac{U_1}{r_{\text{общ1}}} = \frac{U_2}{r_{\text{общ2}}} = \frac{U_3}{r_{\text{общ3}}} = \frac{U_4}{r_{\text{общ4}}} = I_0\),

где \(U_1 = 3\), \(U_2 = 15\), \(U_3 = 75\), \(U_4 = 150\) - значения напряжений.

Теперь мы можем составить систему уравнений:

\[
\begin{cases}
\frac{3}{r_{\text{общ1}}} = I_0 \\
\frac{15}{r_{\text{общ2}}} = I_0 \\
\frac{75}{r_{\text{общ3}}} = I_0 \\
\frac{150}{r_{\text{общ4}}} = I_0 \\
\frac{1}{r_{\text{общ1}}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{1000} \\
\frac{1}{r_{\text{общ2}}} = \frac{1}{r_2} + \frac{1}{1000} \\
\frac{1}{r_{\text{общ3}}} = \frac{1}{r_3} + \frac{1}{1000} \\
\frac{1}{r_{\text{общ4}}} = \frac{1}{r_4} + \frac{1}{1000} \\
\end{cases}
\]

Теперь можно решить данную систему уравнений численно или аналитически. Я рассчитаю значения сопротивлений \(r_1\), \(r_2\), \(r_3\), \(r_4\) для пределов измерения 3, 15, 75 и 150 В.

\[
\begin{align*}
r_{\text{общ1}} &= \frac{1}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{1000}} \\
r_{\text{общ2}} &= \frac{1}{\frac{1}{r_2} + \frac{1}{1000}} \\
r_{\text{общ3}} &= \frac{1}{\frac{1}{r_3} + \frac{1}{1000}} \\
r_{\text{общ4}} &= \frac{1}{\frac{1}{r_4} + \frac{1}{1000}} \\
\end{align*}
\]

Теперь, мы можем с использованием значений напряжений исчислить значения сопротивлений:

\[
\begin{align*}
r_1 &= \frac{1000 \cdot r_{\text{общ1}}}{1000 - r_{\text{общ1}}} \\
r_2 &= \frac{1000 \cdot r_{\text{общ2}}}{1000 - r_{\text{общ2}}} \\
r_3 &= \frac{1000 \cdot r_{\text{общ3}}}{1000 - r_{\text{общ3}}} \\
r_4 &= \frac{1000 \cdot r_{\text{общ4}}}{1000 - r_{\text{общ4}}} \\
\end{align*}
\]

Подставим значения напряжений и других известных величин:

\[
\begin{align*}
r_1 &= \frac{1000 \cdot (1000 \cdot 3)}{(1000 - 3)} \\
r_2 &= \frac{1000 \cdot (1000 \cdot 15)}{(1000 - 15)} \\
r_3 &= \frac{1000 \cdot (1000 \cdot 75)}{(1000 - 75)} \\
r_4 &= \frac{1000 \cdot (1000 \cdot 150)}{(1000 - 150)} \\
\end{align*}
\]

После вычисления этих формул, мы получим значения \(r_1\), \(r_2\), \(r_3\), \(r_4\) для пределов измерения 3, 15, 75 и 150 В, при условии неизменного тока \(I_0\).