Какие значения (a;b) вектора e¯1 в базисе (e¯∗1;e¯∗2) при переходе от базиса (e¯1;e¯2) к базису (e¯1;e¯2) для данной

Чтобы найти значения (a;b) вектора \(\overline{e}_1\) в базисе \(\overline{e}^*_1\) и \(\overline{e}^*_2\) при переходе от базиса \(\overline{e}_1\) и \(\overline{e}_2\) к базису \(\overline{e}^*_1\) и \(\overline{e}^*_2\), мы можем использовать формулу:

\[\overline{e}^*_1 = A^{-1} \cdot \overline{e}_1\]
\[\overline{e}^*_2 = A^{-1} \cdot \overline{e}_2\]

Здесь \(A\) - матрица перехода от базиса \(\overline{e}_1\) и \(\overline{e}_2\) к базису \(\overline{e}^*_1\) и \(\overline{e}^*_2\), указанная в задаче.

Сначала нам необходимо найти обратную матрицу \(A^{-1}\). Для этого вычисляем определитель матрицы \(A\):

\[\text{det}(A) = \begin{vmatrix}
2 & -1 \\
1 & 2
\end{vmatrix} = (2 \cdot 2) - (-1 \cdot 1) = 5\]

Затем находим обратную матрицу \(A^{-1}\):

\[A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{adj}(A)\]

где \(\text{adj}(A)\) - алгебраическое дополнение матрицы \(A\). Для данной матрицы \(A\) алгебраическое дополнение можно найти следующим образом:

\[\text{adj}(A) = \begin{bmatrix}
2 & -1 \\
1 & 2
\end{bmatrix}\]

\(\text{adj}(A)\) можно найти, поменяв местами элементы на главной диагонали и поменяв знак у элементов на побочной диагонали.

Теперь мы можем вычислить обратную матрицу \(A^{-1}\) следующим образом:

\[A^{-1} = \frac{1}{5} \cdot \begin{bmatrix}
2 & -1 \\
1 & 2
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\
\frac{1}{5} & \frac{2}{5}
\end{bmatrix}\]

Теперь, используя найденное значение \(A^{-1}\), мы можем найти значения \(\overline{e}^*_1\) и \(\overline{e}^*_2\). Подставим значение \(\overline{e}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\) в формулу:

\[\overline{e}^*_1 = \begin{bmatrix}
\frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\
\frac{1}{5} & \frac{2}{5}
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{5} \\ \frac{1}{5} \end{bmatrix}\]

Аналогично, подставим значение \(\overline{e}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\) в формулу:

\[\overline{e}^*_2 = \begin{bmatrix}
\frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\
\frac{1}{5} & \frac{2}{5}
\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{5} \\ \frac{2}{5} \end{bmatrix}\]

Таким образом, значения вектора \(\overline{e}_1\) в базисе \(\overline{e}^*_1\) и \(\overline{e}^*_2\) при переходе от базиса \(\overline{e}_1\) и \(\overline{e}_2\) к базису \(\overline{e}^*_1\) и \(\overline{e}^*_2\) равны \(a = \frac{2}{5}\) и \(b = \frac{1}{5}\) соответственно.

Таким образом, правильный ответ на эту задачу: a) \(a = \frac{2}{5}\); \(b = \frac{1}{5}\).