Какова функция распределения для данной непрерывной случайной величины X, если задана следующая плотность

Чтобы найти функцию распределения для данной непрерывной случайной величины X с заданной плотностью распределения, нам необходимо проинтегрировать эту плотность от минимального значения до значения X.

Давайте рассмотрим каждый интервал в отдельности:
1. Для \(x \leq \frac{\pi}{6}\) плотность распределения равна 0. Это означает, что вероятность получить значение X меньше или равное \(\frac{\pi}{6}\) равна 0.
\(F(X) = 0\) при \(x \leq \frac{\pi}{6}\)

2. Для \(\frac{\pi}{6} < x \leq \frac{\pi}{3}\) плотность распределения равна \(3\sin^3(x)\). Чтобы найти функцию распределения в этом случае, мы должны проинтегрировать плотность от \(\frac{\pi}{6}\) до X:
\[F(X) = \int_{\frac{\pi}{6}}^X 3\sin^3(x) \, dx\]

Данное интегрирование может быть выполнено с использованием метода подстановки или интегрирования по частям. Однако для нашего ответа я буду использовать метод подстановки для упрощения решения.

Проведем следующую замену: \(u = \sin(x)\).
Тогда, \(du = \cos(x) \, dx\) и \(dx = \frac{du}{\cos(x)}\).

Подставим замену в интеграл:
\[F(X) = \int_{\frac{\pi}{6}}^X 3\sin^3(x) \, dx = \int_{\sin(\frac{\pi}{6})}^{\sin(X)} 3u^3 \, \frac{du}{\cos(x)}\]

Заметим, что значение \(\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}\), поэтому мы можем преобразовать нижний предел интегрирования:
\[F(X) = \int_{\frac{1}{2}}^{\sin(X)} 3u^3 \, \frac{du}{\cos(x)}\]

Теперь интегрируем:
\[F(X) = \left[ \frac{3}{4}u^4\sec(x) \right]_{\frac{1}{2}}^{\sin(X)} = \frac{3}{4} \left(\sin^4(X)\sec(X) - \frac{1}{16}\sec(\frac{\pi}{6})\right)\]

3. Для \(x > \frac{\pi}{3}\) плотность распределения равна 0. Значит, вероятность получить значение X больше \(\frac{\pi}{3}\) равна 1:
\(F(X) = 1\) при \(x > \frac{\pi}{3}\)

Итак, мы получили функцию распределения для данной случайной величины X в каждом из интервалов:
\[F(X) = \begin{cases}
0, & x \leq \frac{\pi}{6} \\
\frac{3}{4} \left(\sin^4(X)\sec(X) - \frac{1}{16}\sec(\frac{\pi}{6})\right), & \frac{\pi}{6} < x \leq \frac{\pi}{3} \\
1, & x > \frac{\pi}{3}
\end{cases}
\]

Это и есть итоговая функция распределения для данной непрерывной случайной величины X с заданной плотностью распределения.