Какие утверждения верны для всех натуральных n> 1, если A=1n+1+1n+2+…+12n?

Для решения этой задачи, давайте посмотрим на выражение \(A = 1^{n+1} + 1^{n+2} + \ldots + 1^{2n}\) и попробуем выяснить, какие утверждения верны для всех натуральных \(n > 1\).

Первое утверждение: \(A\) равно \(n + 1\).

Для проверки этого утверждения, давайте применим формулу суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)\]

где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(a_n\) - последний член прогрессии.

Применим эту формулу к нашему выражению \(A\):

\[S_n = \frac{n}{2} (1^{n+1} + 1^{2n})\]

Мы знаем, что \(1^{k} = 1\) для любого натурального числа \(k\). Поэтому:

\[S_n = \frac{n}{2} (1 + 1) = \frac{n}{2} \cdot 2 = n\]

Таким образом, \(A = n\), что опровергает первое утверждение.

Второе утверждение: \(A\) равно \((n-1) + 1\).

Применим формулу суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии, но в этот раз начиная со второго члена:

\[S_n = \frac{n}{2} (a_2 + a_n)\]

Подставим значения из нашего выражения \(A\):

\[S_n = \frac{n}{2} (1^{n+2} + 1^{2n})\]

Упростим это выражение, зная, что \(1^{k} = 1\):

\[S_n = \frac{n}{2} (1 + 1) = \frac{n}{2} \cdot 2 = n\]

Таким образом, \(A = n\) или \((n-1) + 1\), что подтверждает второе утверждение.

Третье утверждение: \(A\) является четным числом.

Давайте рассмотрим несколько случаев:

1. Когда \(n\) - четное число:

Если \(n\) - четное число, то можем записать \(n = 2k\), где \(k\) - натуральное число. Тогда значение выражения \(A\) равно:

\[A = 1^{2k+1} + 1^{2k+2} + \ldots + 1^{4k}\]

Мы знаем, что \(1^{k} = 1\) для любого натурального числа \(k\). Поэтому:

\[A = 1 + 1 + \ldots + 1 = k \cdot 1 = k\]

Число \(k\) является четным, поскольку \(n = 2k\) - четное число. Таким образом, в этом случае \(A\) также является четным числом.

2. Когда \(n\) - нечетное число:

Если \(n\) - нечетное число, то можем записать \(n = 2k+1\), где \(k\) - натуральное число. Тогда значение выражения \(A\) равно:

\[A = 1^{2k+2} + 1^{2k+3} + \ldots + 1^{4k+2}\]

Используя аналогичное рассуждение, мы можем снова упростить это выражение:

\[A = 1 + 1 + \ldots + 1 = k \cdot 1 = k\]

Число \(k\) является нечетным, поскольку \(n = 2k+1\) - нечетное число. Таким образом, в этом случае также \(A\) является четным числом.

Таким образом, третье утверждение также верно для всех натуральных \(n > 1\): \(A\) является четным числом.