Какие утверждения справедливы для любых ограниченных последовательностей [tex]x_n : : и : : y_n[/tex]? Объясните

Для решения данной задачи, нам необходимо рассмотреть каждое утверждение отдельно и обосновать, является ли оно верным или неверным. Давайте начнем:

Утверждение 1: \(\sup\{x_n + y_n\} \leqslant \sup \{x_n\} + \sup \{y_n\}\)

Данное утверждение верно. Для доказательства этого факта, мы можем использовать определение верхней грани. По определению, \(\sup\{a_n\}\) - наименьшая из верхних границ \(a_n\) или точная верхняя грань последовательности. Таким образом, \(\sup \{x_n + y_n\}\) является наименьшей из верхних границ сумм \(x_n + y_n\), а \(\sup \{x_n\} + \sup \{y_n\}\) является суммой наименьших верхних границ \(x_n\) и \(y_n\). В любом случае, сумма верхних границ будет больше или равна наименьшей из верхних границ суммы \(x_n + y_n\).

Утверждение 2: \(\sup\{x_n + y_n\} \geqslant \sup \{x_n\} + \sup \{y_n\}\)

Данное утверждение неверно. Приведем контрпример: пусть \(x_n = 1\) для всех \(n\) и \(y_n = -1\) для всех \(n\). В этом случае, \(\sup \{x_n + y_n\} = 0\), \(\sup \{x_n\} = 1\) и \(\sup \{y_n\} = -1\). То есть, \(\sup\{x_n + y_n\} = 0 < 1 + (-1) = \sup \{x_n\} + \sup \{y_n\}\), следовательно, утверждение неверно.

Утверждение 3: \(\sup\{x_n - y_n\} \leqslant \sup \{x_n\} - \sup \{y_n\}\)

Данное утверждение неверно. Рассмотрим пример, где \(x_n = 2\) для всех \(n\) и \(y_n = 1\) для всех \(n\). В этом случае, \(\sup \{x_n - y_n\} = 1\), \(\sup \{x_n\} = 2\) и \(\sup \{y_n\} = 1\). То есть, \(\sup\{x_n - y_n\} = 1 > 2 - 1 = \sup \{x_n\} - \sup \{y_n\}\), следовательно, утверждение неверно.

Утверждение 4: \(\sup\{x_n - y_n\} \geqslant \sup \{x_n\} - \sup \{y_n\}\)

Данное утверждение верно. Аналогично рассуждениям из утверждения 1, мы можем доказать данное утверждение. По определению, \(\sup\{a_n\}\) - наименьшая из верхних границ \(a_n\) или точная верхняя грань последовательности. Таким образом, \(\sup \{x_n - y_n\}\) является наименьшей из верхних границ разностей \(x_n - y_n\), а \(\sup \{x_n\} - \sup \{y_n\}\) является разностью наименьших верхних границ \(x_n\) и \(y_n\). В любом случае, разность верхних границ будет меньше или равна наименьшей из верхних границ разности \(x_n - y_n\).

Утверждение 5: \(\sup\{x_n + y_n\} \leqslant \sup \{x_n\} + \inf \{y_n\}\)

Данное утверждение верно. Доказательство этого факта основывается на определении супремума и инфимума. Пусть \(M = \sup \{x_n\}\) и \(L = \inf \{y_n\}\). Тогда для любых \(x_n\) и \(y_n\), верно, что \(x_n \leqslant M\) и \(y_n \geqslant L\). Следовательно, \(x_n + y_n \leqslant M + L\) для любых \(n\). Это означает, что \(M + L\) является верхней границей для всех сумм \(x_n + y_n\). Но чтобы найти точную верхнюю грань, мы должны выбрать наименьшую из этих границ, что дает нам \(\sup \{x_n + y_n\} \leqslant M + L\).

Утверждение 6: \(\sup\{x_n + y_n\} \geqslant \sup \{x_n\} + \inf \{y_n\}\)

Данное утверждение неверно. Приведем контрпример: пусть \(x_n = 1\) для всех \(n\) и \(y_n = -1\) для всех \(n\). В этом случае, \(\sup \{x_n + y_n\} = 0\), \(\sup \{x_n\} = 1\) и \(\inf \{y_n\} = -1\). То есть, \(\sup\{x_n + y_n\} = 0 < 1 + (-1) = \sup \{x_n\} + \inf \{y_n\}\), следовательно, утверждение неверно.

Утверждение 7: \(\sup\{x_n + y_n\} \leqslant \sup \{x_n\} - \inf \{y_n\}\)

Данное утверждение неверно. Рассмотрим пример, где \(x_n = 1\) для всех \(n\) и \(y_n = 2\) для всех \(n\). В этом случае, \(\sup \{x_n + y_n\} = 3\), \(\sup \{x_n\} = 1\) и \(\inf \{y_n\} = 2\). То есть, \(\sup\{x_n + y_n\} = 3 > 1 - 2 = \sup \{x_n\} - \inf \{y_n\}\), следовательно, утверждение неверно.

Таким образом, после анализа каждого утверждения, мы можем сделать следующие выводы:

- Утверждение 1 верно.
- Утверждение 2 неверно.
- Утверждение 3 неверно.
- Утверждение 4 верно.
- Утверждение 5 верно.
- Утверждение 6 неверно.
- Утверждение 7 неверно.