Какие утверждения из следующих являются верными, основываясь на информации о тетраэдре АВСD, где ребро

Давайте разберем задачу по шагам:

1. Рассмотрим утверждение: "Плоскость АВД перпендикулярна к плоскости ВСД".
Для того чтобы проверить это утверждение, необходимо убедиться, что прямая АВ перпендикулярна к плоскости ВСД. Из условия задачи видно, что ребро АВ перпендикулярно к плоскости ВСД, поэтому это утверждение верно.

2. Перейдем к следующему утверждению: "Расстояние от точки С до плоскости АBD равно 8".
Чтобы проверить это утверждение, воспользуемся свойством перпендикулярности ребра АВ и плоскости ВСД. Расстояние от точки С до плоскости АВД будет равно высоте тетраэдра АВСD, опущенной из точки С на плоскость АВД. Для нахождения этой высоты можно использовать формулу для площади треугольника: \(h = \frac{2S}{AB}\), где S - площадь основания (треугольника ВСD), AB - длина основания (ребро АВ).
В треугольнике ВСD, угол В является прямым, а угол С равен 60°. Можно воспользоваться формулой для площади треугольника: \(S = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot BC \cdot \sin C\), где CD - длина стороны CD, BC - длина стороны BC, а C - мера угла С. Подставим известные значения: \(S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot BC \cdot \sin 60^\circ\).
Поскольку у нас нет информации о длине стороны BC, нам не хватает данных для вычисления расстояния от точки С до плоскости АВД. Поэтому данное утверждение нельзя считать верным на основе предоставленной информации.

3. Проверим третье утверждение: "Расстояние от точки C до прямой AD равно 16".
Для решения этой задачи также воспользуемся свойством перпендикулярности ребра АВ и плоскости ВСД. В данном случае, расстояние от точки C до прямой AD будет равно высоте треугольника ВСD, опущенной из точки С на прямую AD. Из ранее найденной площади треугольника ВСD равной \(S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot BC \cdot \sin 60^\circ\), можно использовать формулу для высоты треугольника: \(h = \frac{2S}{BC}\). Подставим известные значения и получим \(h = \frac{2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot BC \cdot \sin 60^\circ}{BC}\). Заметим, что BC сокращается и получаем \(h = 16 \cdot \sin 60^\circ = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}\). Таким образом, расстояние от точки C до прямой AD равно \(8\sqrt{3}\).

4. Наконец, проверим четвертое утверждение: "Котангенс угла между плоскостью АВД и плоскостью CBD равен?".
Для нахождения котангенса угла между двумя плоскостями, необходимо знать их нормальные векторы. Отсутствует информация о нормальных векторах этих плоскостей, поэтому невозможно вычислить котангенс угла между ними на основе предоставленной информации.

В итоге, только третье утверждение верно. Расстояние от точки C до прямой AD равно \(8\sqrt{3}\). Остальные утверждения не могут быть подтверждены на основе предоставленной информации.