Какие уравнения прямых проходят через начало координат и точку М (1; 3) и параллельны друг другу, если известно

Чтобы найти уравнения прямых, которые проходят через начало координат и точку \(M(1; 3)\) и параллельны друг другу, мы будем следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Найдём уравнение прямой через начало координат и точку \(M(1; 3)\).
Уравнение прямой в общем виде выглядит как \(y = mx + b\), где \(m\) - это наклон прямой, а \(b\) - это значение y-пересечения (то есть значение y, когда x равно нулю).

Поскольку задана точка \(M(1; 3)\), мы можем использовать ее, чтобы найти значение \(m\).
Подставляя значения точки \(M\) в уравнение прямой, получим:
\[3 = m(1) + b\]
Так как прямая проходит через начало координат, то \(b = 0\), следовательно, уравнение меняется на:
\[3 = m(1)\]
Отсюда можно найти значение \(m\):
\[m = 3\]

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку \(M(1;3)\), равно:
\[y = 3x \qquad (1)\]

Шаг 2: Найдём уравнение прямых, параллельных друг другу и имеющих расстояние между ними равное \(\sqrt{5}\).
Прямые, параллельные друг другу, имеют одинаковый наклон.
Так как мы уже нашли значение \(m = 3\) в шаге 1, у нас будет одинаковый наклон для обеих прямых.

Теперь нам нужно найти значение \(b\) (y-пересечения) для каждой прямой.

Расстояние между прямыми можно найти из следующей формулы:
\[d = \frac{{|b_2 - b_1|}}{{\sqrt{1 + m^2}}}\]
где \(d = \sqrt{5}\) - данное расстояние между прямыми, \(m = 3\) - наклон прямых, \(b_1\) и \(b_2\) - значения y-пересечения для каждой прямой.

Подставляя известные значения, получаем уравнение:
\[\sqrt{5} = \frac{{|b_2 - 0|}}{{\sqrt{1 + 3^2}}}\]
Упростив равенство, получаем:
\[\sqrt{5} = \frac{{|b_2|}}{{\sqrt{10}}}\]
Умножая обе стороны уравнения на \(\sqrt{10}\), получаем:
\[\sqrt{5} \cdot \sqrt{10} = |b_2|\]
\[\sqrt{50} = |b_2|\]
Поскольку \(|b_2|\) - это модуль значения \(b_2\), существует два возможных значения для \(b_2\):
\[b_2 = \sqrt{50}\] или \[b_2 = -\sqrt{50}\]

Таким образом, у нас есть две прямые, параллельные друг другу и проходящие через начало координат и точку \(M(1;3)\):
\[y = 3x + \sqrt{50} \qquad (2)\]
и
\[y = 3x - \sqrt{50} \qquad (3)\]

Итак, ответом на данную задачу являются уравнения прямых, проходящих через начало координат и точку \(M(1;3)\), параллельные друг другу, и имеющие расстояние между ними, равное \(\sqrt{5}\):
\[y = 3x + \sqrt{50}\]
\[y = 3x - \sqrt{50}\]