Какие три слагаемых являются первыми в биномиальном разложении при возрастании степени z и какой коэффициент следует

Биномиальное разложение – это представление выражения вида \((a+b)^n\) в виде суммы слагаемых степеней \(a\) и \(b\), где \(n\) - натуральное число. Чтобы определить первые три слагаемых при возрастании степени \(z\) и соответствующий коэффициент, нам необходимо знать значение степени \(n\) данного бинома и значения \(a\) и \(b\).

В данной задаче не указаны значения \(a\) и \(b\), поэтому мы не можем точно определить, какие именно слагаемые являются первыми в биномиальном разложении. Однако, мы можем предоставить общую формулу для коэффициента при каждом слагаемом в разложении.

Коэффициент перед \(a^{n-k} \cdot b^k\), где \(k\) - это порядковый номер слагаемого, определяется формулой биномиального коэффициента:

\[C_n^k = \frac{n!}{(n-k)! \cdot k!}\]

где "!" обозначает факториал. Факториал числа \(n\) обозначается символом \(n!\) и представляет собой произведение всех натуральных чисел от 1 до \(n\).

Эта формула позволяет нам вычислить коэффициент перед каждым слагаемым в биномиальном разложении. Теперь мы можем предоставить пример конкретного биномиального разложения для иллюстрации.

Предположим, у нас есть бином \((1+z)^4\). Мы можем записать его разложение в виде:

\[(1+z)^4 = C_4^0 \cdot 1^4 + C_4^1 \cdot 1^3 \cdot z + C_4^2 \cdot 1^2 \cdot z^2 + C_4^3 \cdot 1 \cdot z^3 + C_4^4 \cdot z^4\]

Вычислим каждый из коэффициентов:

\[C_4^0 = 1\]
\[C_4^1 = \frac{4!}{(4-1)! \cdot 1!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 4\]
\[C_4^2 = \frac{4!}{(4-2)! \cdot 2!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1} = 6\]
\[C_4^3 = \frac{4!}{(4-3)! \cdot 3!} = \frac{4!}{1! \cdot 3!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 4\]
\[C_4^4 = 1\]

Подставим найденные значения коэффициентов в разложение:

\[(1+z)^4 = 1 \cdot 1^4 + 4 \cdot 1^3 \cdot z + 6 \cdot 1^2 \cdot z^2 + 4 \cdot 1 \cdot z^3 + 1 \cdot z^4\]

Таким образом, первые три слагаемых при возрастании степени \(z\) в биномиальном разложении для данного примера будут:

\[1, 4z, 6z^2\]