Какие три числа составляют геометрическую прогрессию, если их сумма равна 19 и сумма их квадратов равна 133?

Для решения этой задачи, давайте предположим, что три числа в геометрической прогрессии обозначим как \(a\), \(ar\) и \(ar^2\), где \(a\) - первый член прогрессии, а \(r\) - шаг прогрессии.

Мы знаем, что сумма этих трех чисел равна 19, поэтому мы можем записать уравнение:
\[a + ar + ar^2 = 19\]

Также нам известно, что сумма квадратов этих чисел равна 133. Запишем это уравнение:
\[a^2 + (ar)^2 + (ar^2)^2 = 133\]

Разложим квадраты и приведем подобные слагаемые:
\[a^2 + a^2r^2 + a^2r^4 = 133\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений, описывающих задачу. Решим ее с помощью метода подстановки.

Из первого уравнения мы можем выразить \(a\) через \(r\):
\[a = \frac{19}{1 + r + r^2}\]

Подставим это выражение для \(a\) во второе уравнение:
\[\left(\frac{19}{1 + r + r^2}\right)^2 + \left(\frac{19}{1 + r + r^2}\right)^2r^2 + \left(\frac{19}{1 + r + r^2}\right)^2r^4 = 133\]

Просуммируем слагаемые и приведем подобные члены:
\[\frac{19^2}{(1 + r + r^2)^2}(1 + r^2 + r^4) = 133\]

Теперь у нас есть уравнение только с одной переменной \(r\). Решим его:

\[\frac{19^2}{(1 + r + r^2)^2}(1 + r^2 + r^4) = 133\]

Умножим обе части уравнения на \((1 + r + r^2)^2\):
\[19^2(1 + r^2 + r^4) = 133(1 + r + r^2)^2\]

Раскроем квадрат справа:
\[19^2(1 + r^2 + r^4) = 133(1 + 2r + r^2 + 2r^2 + 2r^3 + r^4)\]

Упростим уравнение:
\[19^2 = 133(1 + 2r + 3r^2 + 2r^3)\]

Раскроем скобки:
\[19^2 = 133 + 266r + 399r^2 + 266r^3\]

Приведем уравнение в порядок убывания степеней:
\[266r^3 + 399r^2 + 266r + (133 - 19^2) = 0\]

Вычислим значение в скобках:
\[133 - 19^2 = 133 - 361 = -228\]

Подставим значение в уравнение:
\[266r^3 + 399r^2 + 266r - 228 = 0\]

Теперь нам нужно решить это кубическое уравнение. Для его решения могут потребоваться математические формулы, которые мы не можем предоставить. Тем не менее, значения \(r\) можно вычислить с использованием компьютера или калькулятора, например, методом деления отрезка пополам или методом Ньютона. Получив значения \(r\), можно вычислить значения \(a\), \(ar\) и \(ar^2\) как результаты.

Обратите внимание, что числа \(a\), \(ar\) и \(ar^2\) в данном случае могут быть дробными.