Какие три числа составляют геометрическую прогрессию, если их сумма равна 19 и сумма их квадратов равна 133?

Для решения этой задачи, давайте предположим, что три числа в геометрической прогрессии обозначим как $a$, $ar$ и $a{r}^2$, где $a$ - первый член прогрессии, а $r$ - шаг прогрессии.

Мы знаем, что сумма этих трех чисел равна 19, поэтому мы можем записать уравнение:
$$a+ar+a{r}^2=19$$

Также нам известно, что сумма квадратов этих чисел равна 133. Запишем это уравнение:
$$a^2+(ar{)}^2+(a{r}^2{)}^2=133$$

Разложим квадраты и приведем подобные слагаемые:
$$a^2+a^2{r}^2+a^2{r}^4=133$$

Теперь у нас есть система из двух уравнений, описывающих задачу. Решим ее с помощью метода подстановки.

Из первого уравнения мы можем выразить $a$ через $r$:
$$a=\frac{19}{1+r+r^2}$$

Подставим это выражение для $a$ во второе уравнение:
$${\left(\frac{19}{1+r+r^2}\right)}^2+{\left(\frac{19}{1+r+r^2}\right)}^2{r}^2+{\left(\frac{19}{1+r+r^2}\right)}^2{r}^4=133$$

Просуммируем слагаемые и приведем подобные члены:
$$\frac{{19}^2}{(1+r+r^2{)}^2}(1+r^2+r^4)=133$$

Теперь у нас есть уравнение только с одной переменной $r$. Решим его:

$$\frac{{19}^2}{(1+r+r^2{)}^2}(1+r^2+r^4)=133$$

Умножим обе части уравнения на $(1+r+r^2{)}^2$:
$${19}^2(1+r^2+r^4)=133(1+r+r^2{)}^2$$

Раскроем квадрат справа:
$${19}^2(1+r^2+r^4)=133(1+2r+r^2+2r^2+2r^3+r^4)$$

Упростим уравнение:
$${19}^2=133(1+2r+3r^2+2r^3)$$

Раскроем скобки:
$${19}^2=133+266r+399r^2+266r^3$$

Приведем уравнение в порядок убывания степеней:
$$266r^3+399r^2+266r+(133-{19}^2)=0$$

Вычислим значение в скобках:
$$133-{19}^2=133-361=-228$$

Подставим значение в уравнение:
$$266r^3+399r^2+266r-228=0$$

Теперь нам нужно решить это кубическое уравнение. Для его решения могут потребоваться математические формулы, которые мы не можем предоставить. Тем не менее, значения $r$ можно вычислить с использованием компьютера или калькулятора, например, методом деления отрезка пополам или методом Ньютона. Получив значения $r$, можно вычислить значения $a$, $ar$ и $a{r}^2$ как результаты.

Обратите внимание, что числа $a$, $ar$ и $a{r}^2$ в данном случае могут быть дробными.