Как найти мгновенную скорость точки, движущейся прямолинейно по закону x(t)=3t^3+2 в момент времени t0=2

Хорошо, чтобы найти мгновенную скорость точки при движении по закону x(t) = 3t^3 + 2 в момент времени t0 = 2, мы воспользуемся определением мгновенной скорости.

Мгновенная скорость определяется как предел скорости приближающейся к нулю разности положения точки за бесконечно малый промежуток времени. Математически, это записывается следующим образом:

\[v(t) = \lim_{{\Delta t \to 0}} \frac{{x(t + \Delta t) - x(t)}}{{\Delta t}}\]

где v(t) - мгновенная скорость в момент времени t.

Итак, для нашей задачи, как найти мгновенную скорость точки в момент времени t0 = 2, мы подставим значения в нашу формулу и рассчитаем предел:

\[v(t0) = \lim_{{\Delta t \to 0}} \frac{{x(t0 + \Delta t) - x(t0)}}{{\Delta t}}\]

Подставляя значения t0 = 2 и x(t) = 3t^3 + 2, мы получаем:

\[v(2) = \lim_{{\Delta t \to 0}} \frac{{x(2 + \Delta t) - x(2)}}{{\Delta t}}\]

Теперь давайте подставим значения функции в полученное выражение:

\[v(2) = \lim_{{\Delta t \to 0}} \frac{{3(2 + \Delta t)^3 + 2 - (3(2)^3 + 2)}}{{\Delta t}}\]

\[v(2) = \lim_{{\Delta t \to 0}} \frac{{3(8 + 12\Delta t + 6(\Delta t)^2 + (\Delta t)^3) + 2 - 56}}{{\Delta t}}\]

Раскрывая скобки, получим:

\[v(2) = \lim_{{\Delta t \to 0}} \frac{{24\Delta t + 18(\Delta t)^2 + 3(\Delta t)^3}}{{\Delta t}}\]

Теперь сократим \(\Delta t\):

\[v(2) = \lim_{{\Delta t \to 0}} 24 + 18\Delta t + 3(\Delta t)^2\]

Поскольку \(\Delta t\) приближается к нулю, мы можем пренебречь последними двумя членами в пределе:

\[v(2) = 24\]

Итак, мгновенная скорость точки в момент времени t0 = 2 равна 24.