Какие точки являются условными экстремумами функции f(x, y) = xy при условии x + y = 3? Какие значения функции f(x

Для решения данной задачи, мы будем использовать метод множителей Лагранжа.

Дано:
Функция \(f(x, y) = xy\)
Условие \(\phi(x, y) = x + y = 3\)

Шаг 1: Формулировка задачи

Мы ищем условные экстремумы функции \(f(x, y)\) при условии \(x + y = 3\). Чтобы найти точки, в которых достигаются данные условные экстремумы, мы будем использовать метод множителей Лагранжа.

Шаг 2: Формулировка функции Лагранжа

Функция Лагранжа определяется как сумма функции \(f(x, y)\) и произведения множителя Лагранжа \(\lambda\) на функцию условия \(\phi(x, y)\):

\(L(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda\phi(x, y)\)

В данном случае, функция Лагранжа будет иметь вид:

\(L(x, y, \lambda) = xy + \lambda(x + y - 3)\)

Шаг 3: Нахождение частных производных

Для нахождения условных экстремумов, необходимо найти стационарные точки функции Лагранжа. Для этого найдем частные производные по переменным x, y и \(\lambda\):

\(\frac{{\partial L}}{{\partial x}} = y + \lambda = 0\)

\(\frac{{\partial L}}{{\partial y}} = x + \lambda = 0\)

\(\frac{{\partial L}}{{\partial \lambda}} = x + y - 3 = 0\)

Шаг 4: Решение системы уравнений

Решим систему уравнений, состоящую из трех уравнений, найденных на предыдущем шаге:

\(y + \lambda = 0\) (1)

\(x + \lambda = 0\) (2)

\(x + y - 3 = 0\) (3)

Из уравнения (1) получаем \(y = -\lambda\).

Подставим значение \(y\) в уравнение (3) и получим \(x - \lambda - 3 = 0\). Затем подставим найденное значение \(x\) в уравнение (2) и получим \(-\lambda - \lambda = 0\).

Отсюда получаем \(\lambda = 0\) и \(x = 0\), а также \(y = 0\).

Шаг 5: Проверка на локальный экстремум

Чтобы убедиться, что найденная стационарная точка является условным экстремумом, необходимо проанализировать вторую производную функции Лагранжа.

\(\frac{{\partial^2 L}}{{\partial x^2}} = 0\), \(\frac{{\partial^2 L}}{{\partial y^2}} = 0\) и \(\frac{{\partial^2 L}}{{\partial \lambda^2}} = 0\)

Поскольку все вторые производные равны нулю, то в данном случае условные экстремумы отсутствуют.

Шаг 6: Ответ

Следовательно, у функции \(f(x, y) = xy\) при условии \(x + y = 3\) отсутствуют условные экстремумы.