Какие точки можно построить на рисунке, чтобы они были симметричными относительно заданной прямой?

Чтобы найти точки симметричные относительно заданной прямой, нужно провести перпендикуляр к этой прямой из заданной точки. Точка пересечения перпендикуляра с прямой будет искомой симметричной точкой.

Давайте разберем это на примере. Предположим, у нас есть следующий рисунок:

\[ \begin{xy}
,(0,0)*\cir{*}
,(-1,2)*\cir{*}
,(-1.5,3)*\cir{*}
,(1,2)*\cir{*}
,(1.5,3)*\cir{*}
,(0,1)*\cir{*}
,(0.5,2)*\cir{*}
\ar@{-}(-2,0);(2,0)
\end{xy} \]

Здесь у нас есть прямая, обозначенная через пунктир, и несколько точек на рисунке. Допустим, мы хотим найти симметричные точки относительно этой прямой для точки с координатами \((0,1)\).

Шаг 1: Продолжим прямую, чтобы она пересекала ось абсцисс в точке \(A\).

\[ \begin{xy}
,(0,0)*\cir{*}
,(-1,2)*\cir{*}
,(-1.5,3)*\cir{*}
,(1,2)*\cir{*}
,(1.5,3)*\cir{*}
,(0,1)*\cir{*}
,(0.5,2)*\cir{*}
,(0,0);(-2,0)@{-}?(0.5)*+!D{A}
\ar@{-}(-2,0);(2,0)
\end{xy} \]

Шаг 2: Проведем перпендикуляр из точки \((0,1)\) до прямой \(AA"\), где \(A"\) - это точка пересечения перпендикуляра с продолжением прямой.

\[ \begin{xy}
,(0,0)*\cir{*}
,(-1,2)*\cir{*}
,(-1.5,3)*\cir{*}
,(1,2)*\cir{*}
,(1.5,3)*\cir{*}
,(0,1)*\cir{*}
,(0.5,2)*\cir{*}
,(0,0);(-2,0)@{-}?(0.5)*+!D{A}
,(0,1);(0,0)@{-}?(0.5)*+!L{B}
,(0,1);(1.2,-1.2)@{-}?(0.5)*+!D{A"}
\ar@{-}(-2,0);(2,0)
\end{xy} \]

Шаг 3: Найдем точку симметричную относительно прямой \(AA"\), обозначим ее \(B\). Эта точка будет иметь те же координаты \(x\), но противоположную \(y\).

\[ B = (0, -1) \]

Таким образом, точка \((0, -1)\) является симметричной относительно заданной прямой для точки \((0, 1)\).

Этот метод можно применять для любой точки и любой заданной прямой. Нужно только продлить прямую, провести перпендикуляр из точки до продолженной прямой и найти точку пересечения перпендикуляра с прямой. Эта точка будет симметричной исходной точке относительно прямой.