Какие точки экстремума функции y = 2 – √x – 2cosx на интервале x∈[−π2;π] и каков характер этих точек? Ответ представь

Чтобы найти точки экстремума для данной функции, необходимо воспользоваться производной ирассчитать все точки, где производная равна нулю или не существует.

Начнем с нахождения производной y" от функции y = 2 – √x – 2cosx.

\[y" = \frac{d}{dx}(2 – \sqrt{x} – 2\cos{x}) = -\frac{1}{2\sqrt{x}} + 2\sin{x}\]

Теперь найдем значения x, для которых производная равна нулю:

\[-\frac{1}{2\sqrt{x}} + 2\sin{x} = 0\]

Перенесем все элементы в левую часть уравнения:

\[-\frac{1}{2\sqrt{x}} + 2\sin{x} = 0\]
\[-\frac{1}{2\sqrt{x}} = -2\sin{x}\]
\[\frac{1}{2\sqrt{x}} = 2\sin{x}\]

Избавимся от знаменателя, возведя левые и правые части в квадрат:

\[\frac{1}{4x} = 4\sin^2{x}\]

Домножим обе части уравнения на 4x, чтобы избавиться от знаменателя:

\[1 = 16x \sin^2{x}\]

Теперь рассмотрим два случая: первый, когда \(\sin{x} = 0\), а второй, когда \(\sin{x}\neq 0\).

1. Когда \(\sin{x} = 0\), т.е. x = 0, \(\pi\), и 2\(\pi\).

2. Когда \(\sin{x}\neq 0\), тогда рассмотрим уравнение \[1 = 16x \sin^2{x}\]. Заменяя \(\sin^2{x}\) по формуле \(\sin^2{x} = 1 - \cos^2{x}\), получим:

\[1 = 16x(1 - \cos^2{x})\]
\[1 = 16x - 16x\cos^2{x}\]
\[16x\cos^2{x} - 16x = 0\]
\[16x(\cos^2{x} - 1) = 0\]

Данное уравнение равно нулю, когда \(x = 0\) или \(\cos^2{x} - 1 = 0\). Обратите внимание, что \(x = 0\) было уже рассмотрено в первом случае, поэтому исключим его.

\[\cos^2{x} - 1 = 0\]
\[\cos^2{x} = 1\]
\[\cos{x} = \pm 1\]

Отсюда находим x, когда \(\cos{x} = 1\) и когда \(\cos{x} = -1\):

- \(\cos{x} = 1\): x = \(\frac{\pi}{2}\), \(2\pi\),\(\frac{5\pi}{2}\), ...

- \(\cos{x} = -1\): x = \(\pi\), \(3\pi\), \(\frac{5\pi}{2}\), ...

Таким образом, мы получили следующие точки экстремума на интервале x∈[−π/2;π/2]: x = 0, \(\pi\), и 2\(\pi\). Чтобы представить точки экстремума в градусах, преобразуем их.

0 радиан = 0 градусов
\(\pi\) радиан = 180 градусов
2\(\pi\) радиан = 360 градусов

Таким образом, точки экстремума в градусах на данном интервале равны 0°, 180° и 360°.

Теперь рассмотрим характер этих точек экстремума. Для этого проанализируем знак производной в окрестности каждой точки экстремума.

- В окрестности x = 0, производная \(y"\) меньше нуля для отрицательных значений x и больше нуля для положительных значений x. Следовательно, точка x = 0 является точкой максимума.

- В окрестности x = \(\pi\), производная \(y"\) меньше нуля для значений x, близких к \(\pi - \frac{\pi}{2}\), и больше нуля для значений x, близких к \(\pi + \frac{\pi}{2}\). Таким образом, точка x = \(\pi\) является точкой минимума.

- В окрестности x = 2\(\pi\), производная \(y"\) меньше нуля для значений x, близких к \(2\pi - \frac{\pi}{2}\), и больше нуля для значений x, близких к \(2\pi + \frac{\pi}{2}\). Следовательно, точка x = 2\(\pi\) является точкой максимума.

Таким образом, на интервале x∈[−π/2;π/2] функция y = 2 – √x – 2cosx имеет точки экстремума x = 0° (максимум), x = 180° (минимум) и x = 360° (максимум).