Какие скорости имеют моторная лодка и скорость течения реки, если разница в их скоростях составляет 12 км/ч? Известно

Для решения этой задачи мы можем использовать простое уравнение скорости: скорость = расстояние / время.

Пусть \(V_{\text{л}}\) - скорость лодки, \(V_{\text{т}}\) - скорость течения реки.

Из условия задачи мы знаем, что разница в скоростях составляет 12 км/ч, то есть

\[V_{\text{л}} - V_{\text{т}} = 12 \quad (1).\]

Также известно, что лодка проплывает 36 км против течения на 1 час дольше, чем 32 км по течению. Мы можем записать это в виде уравнения:

\[\frac{36}{V_{\text{л}} - V_{\text{т}}}= \frac{32}{V_{\text{л}} + V_{\text{т}} - 12} + 1 \quad (2).\]

Проведем решение этой системы уравнений:

Расстояние равно скорость умноженную на время. Заменим время на \(\frac{36}{V_{\text{л}} - V_{\text{т}}}\) в уравнении (2):

\[\frac{36}{V_{\text{л}} - V_{\text{т}}}= \frac{32}{V_{\text{л}} + V_{\text{т}} - 12} + 1.\]

Упростим уравнение:

\[36(V_{\text{л}} + V_{\text{т}} - 12) = 32(V_{\text{л}} - V_{\text{т}}) + (V_{\text{л}} - V_{\text{т}})(V_{\text{л}} + V_{\text{т}} - 12).\]

Раскроем скобки:

\[36V_{\text{л}} + 36V_{\text{т}} - 432 = 32V_{\text{л}} - 32V_{\text{т}} + V_{\text{л}}^2 - V_{\text{т}}^2 - 12V_{\text{л}} + 12V_{\text{т}}.\]

Сгруппируем подобные слагаемые:

\[V_{\text{л}}^2 - V_{\text{т}}^2 + 36V_{\text{л}} - 12V_{\text{л}} - 36V_{\text{т}} + 12V_{\text{т}} = 32V_{\text{л}} - 32V_{\text{т}} + \allowbreak 432.\]

Упростим:

\[V_{\text{л}}^2 - V_{\text{т}}^2 + 24V_{\text{л}} - 60V_{\text{т}} = 32V_{\text{л}} - 32V_{\text{т}} + 432.\]

Теперь приведем подобные слагаемые:

\[V_{\text{л}}^2 + 24V_{\text{л}} - 92V_{\text{т}} = 432.\]

Для дальнейшего упрощения уравнения воспользуемся уравнением (1) и заменим \(V_{\text{л}} - V_{\text{т}}\) на 12:

\[V_{\text{л}}^2 + 24V_{\text{л}} - 92 \cdot 12 = 432.\]

Продолжим сокращать:

\[V_{\text{л}}^2 + 24V_{\text{л}} - 1104 = 432.\]

Теперь перенесем все члены уравнения в одну сторону:

\[V_{\text{л}}^2 + 24V_{\text{л}} - 1536 = 0.\]

Получили квадратное уравнение. Используем квадратное уравнение с дискриминантом:

\[D = 24^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1536) = 576 + 6144 = 6720.\]

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня:

\[V_{\text{л1,2}} = \frac{-24 \pm \sqrt{6720}}{2} = -12 \pm 24\sqrt{5}.\]

Обратим внимание, что скорость не может быть отрицательной, поэтому отбрасываем отрицательное значение:

\[V_{\text{л}} = -12 + 24\sqrt{5}.\]

Теперь, зная \(V_{\text{л}}\), мы можем использовать уравнение (1), чтобы найти \(V_{\text{т}}\):

\[-12 + 24\sqrt{5} - V_{\text{т}} = 12.\]

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

\[V_{\text{т}} = -12 + 24\sqrt{5} - 12 = 24\sqrt{5} - 24.\]

Таким образом, скорость лодки \(V_{\text{л}}\) равна \(24\sqrt{5} - 12\) км/ч, а скорость течения реки \(V_{\text{т}}\) равна \(24\sqrt{5} - 24\) км/ч.

Надеюсь, что мой ответ был понятен и обстоятельным. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.