Какие скорости имеют моторная лодка и скорость течения реки, если разница в их скоростях составляет 12 км/ч? Известно

Для решения этой задачи мы можем использовать простое уравнение скорости: скорость = расстояние / время.

Пусть $V_{\text{л}}$ - скорость лодки, $V_{\text{т}}$ - скорость течения реки.

Из условия задачи мы знаем, что разница в скоростях составляет 12 км/ч, то есть

$$V_{\text{л}}-V_{\text{т}}=12(1).$$

Также известно, что лодка проплывает 36 км против течения на 1 час дольше, чем 32 км по течению. Мы можем записать это в виде уравнения:

$$\frac{36}{V_{\text{л}}-V_{\text{т}}}=\frac{32}{V_{\text{л}}+V_{\text{т}}-12}+1(2).$$

Проведем решение этой системы уравнений:

Расстояние равно скорость умноженную на время. Заменим время на $\frac{36}{V_{\text{л}}-V_{\text{т}}}$ в уравнении (2):

$$\frac{36}{V_{\text{л}}-V_{\text{т}}}=\frac{32}{V_{\text{л}}+V_{\text{т}}-12}+1.$$

Упростим уравнение:

$$36(V_{\text{л}}+V_{\text{т}}-12)=32(V_{\text{л}}-V_{\text{т}})+(V_{\text{л}}-V_{\text{т}})(V_{\text{л}}+V_{\text{т}}-12).$$

Раскроем скобки:

$$36V_{\text{л}}+36V_{\text{т}}-432=32V_{\text{л}}-32V_{\text{т}}+V_{\text{л}}^2-V_{\text{т}}^2-12V_{\text{л}}+12V_{\text{т}}.$$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$$V_{\text{л}}^2-V_{\text{т}}^2+36V_{\text{л}}-12V_{\text{л}}-36V_{\text{т}}+12V_{\text{т}}=32V_{\text{л}}-32V_{\text{т}}+\text{allowbreak}432.$$

Упростим:

$$V_{\text{л}}^2-V_{\text{т}}^2+24V_{\text{л}}-60V_{\text{т}}=32V_{\text{л}}-32V_{\text{т}}+432.$$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$$V_{\text{л}}^2+24V_{\text{л}}-92V_{\text{т}}=432.$$

Для дальнейшего упрощения уравнения воспользуемся уравнением (1) и заменим $V_{\text{л}}-V_{\text{т}}$ на 12:

$$V_{\text{л}}^2+24V_{\text{л}}-92\cdot 12=432.$$

Продолжим сокращать:

$$V_{\text{л}}^2+24V_{\text{л}}-1104=432.$$

Теперь перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$$V_{\text{л}}^2+24V_{\text{л}}-1536=0.$$

Получили квадратное уравнение. Используем квадратное уравнение с дискриминантом:

$$D={24}^2-4\cdot 1\cdot (-1536)=576+6144=6720.$$

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня:

$$V_{\text{л1,2}}=\frac{-24\pm \sqrt{6720}}{2}=-12\pm 24\sqrt{5}.$$

Обратим внимание, что скорость не может быть отрицательной, поэтому отбрасываем отрицательное значение:

$$V_{\text{л}}=-12+24\sqrt{5}.$$

Теперь, зная $V_{\text{л}}$, мы можем использовать уравнение (1), чтобы найти $V_{\text{т}}$:

$$-12+24\sqrt{5}-V_{\text{т}}=12.$$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$$V_{\text{т}}=-12+24\sqrt{5}-12=24\sqrt{5}-24.$$

Таким образом, скорость лодки $V_{\text{л}}$ равна $24\sqrt{5}-12$ км/ч, а скорость течения реки $V_{\text{т}}$ равна $24\sqrt{5}-24$ км/ч.

Надеюсь, что мой ответ был понятен и обстоятельным. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.