Какое максимальное значение принимает функция y=2x+72/x+9 на интервале [-18; -0,5]?

Чтобы найти максимальное значение функции \(y = \frac{2x+72}{x+9}\) на интервале \([-18; -0.5]\), мы должны проанализировать ее поведение на этом интервале. Для этого выполним следующие шаги:

1. Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\). Для этого используем правило дифференцирования частного функций:

\[
\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u"v - uv"}{v^2}.
\]

В нашем случае \(u = 2x + 72\) и \(v = x + 9\), поэтому производная будет равна:

\[
y" = \frac{(2)(x+9) - (2x+72)(1)}{(x+9)^2}.
\]

Упростим это выражение:

\[
y" = \frac{2x+18 - 2x-72}{(x+9)^2} = \frac{-54}{(x+9)^2}.
\]

2. Решим уравнение \(y" = 0\), чтобы найти критические точки функции. В данном случае, уравнение \(y" = 0\) не имеет решений, так как числитель всегда равен -54, а знаменатель всегда положителен.

3. Проверим поведение функции на границах интервала \([-18; -0.5]\). Вычислим значение функции в точке -18:

\[
y(-18) = \frac{2(-18) + 72}{-18 + 9} = \frac{-36 + 72}{-9} = \frac{36}{-9} = -4.
\]

Теперь вычислим значение функции в точке -0.5:

\[
y(-0.5) = \frac{2(-0.5) + 72}{-0.5 + 9} = \frac{-1 + 72}{8.5} = \frac{71}{8.5} \approx 8.35.
\]

4. Теперь проанализируем поведение функции между критическими точками и на границах интервала. Учитывая, что функция является рациональной и ее знаменатель всегда положителен, то чем ближе значение \(x\) к -0.5, тем ближе значение \(y\) к бесконечности. Поэтому максимальное значение функции достигается в точке -0.5.

Таким образом, максимальное значение функции \(y=2x+72/x+9\) на интервале \([-18; -0.5]\) равно примерно 8.35.