Какие размеры участка должны быть, чтобы использовалось наименьшее количество материала на ограждение прямоугольного

Для решения данной задачи, давайте сначала введем обозначения. Пусть \(x\) будет длиной стороны прямоугольного участка, а \(y\) - шириной. Тогда площадь участка будет равна произведению \(xy\).

Задача состоит в том, чтобы найти такие значения \(x\) и \(y\), при которых будет использовано наименьшее количество материала на ограждение участка.

Используя производную функции площади \(S(x, y) = xy\) по переменным \(x\) и \(y\), мы найдем максимум или минимум функции. В данном случае, нам нужно найти минимум.

Для этого найдем частные производные функции площади по \(x\) и \(y\):

\[
\frac{{\partial S}}{{\partial x}} = y
\]
\[
\frac{{\partial S}}{{\partial y}} = x
\]

Чтобы найти критические точки, приравняем частные производные к нулю:

\[
y = 0 \quad \text{(1)}
\]
\[
x = 0 \quad \text{(2)}
\]

Очевидно, что значения \(x\) и \(y\) не могут быть нулевыми, так как участок должен иметь положительные размеры. Поэтому, решение должно лежать внутри области, где \(x\) и \(y\) больше нуля.

Давайте теперь найдем вторые производные:

\[
\frac{{\partial^2 S}}{{\partial x^2}} = 0
\]
\[
\frac{{\partial^2 S}}{{\partial y^2}} = 0
\]
\[
\frac{{\partial^2 S}}{{\partial x \partial y}} = 1
\]

Так как вторые производные по \(x\) и \(y\) равны нулю, это означает, что у нас нет экстремумов в этих точках. Однако, вторая производная по \(x\) и \(y\) равна 1, что говорит о наличии минимума в точке пересечения осей \(x\) и \(y\).

Следовательно, наименьшее количество материала будет использоваться при прямоугольном участке, когда его стороны равны.

Учитывая, что площадь участка равна 3600 метров в квадрате, найдем соотношение сторон \(x\) и \(y\):

\[
xy = 3600
\]

Решим это уравнение относительно \(y\):

\[
y = \frac{{3600}}{{x}}
\]

Теперь подставим в это выражение \(y\) для нахождения производной функции площади:

\[
S(x) = x \cdot \left(\frac{{3600}}{{x}}\right) = 3600
\]

Как видим, площадь участка не зависит от значения переменной \(x\), и, следовательно, для любого положительного \(x\) будет выполняться условие задачи.

Таким образом, чтобы использовать наименьшее количество материала на ограждение участка площадью 3600 метров в квадрате, размеры участка могут быть любыми положительными числами \(x\) и \(y\), при условии, что их произведение равно 3600.