Какие размеры должен иметь закрытый цилиндрический бак с объемом 93,312π, чтобы минимальное количество материала было

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться оптимизацией функции. В нашем случае, нам нужно минимизировать количество материала, используемого для производства цилиндрического бака, при условии, что его объем остается постоянным.

Пусть \(r\) - радиус основания цилиндра и \(h\) - его высота. Тогда объем цилиндра может быть выражен формулой:

\[V = \pi \cdot r^2 \cdot h\]

Также, нам дано, что объем цилиндра равен \(93,312\pi\). Подставим это значение в уравнение объема и получим:

\[93,312\pi = \pi \cdot r^2 \cdot h\]

Упростим уравнение, поделив обе части на \(\pi\):

\[93,312 = r^2 \cdot h\]

Теперь нам нужно выразить высоту \(h\) через радиус основания \(r\), чтобы получить функцию, которую мы сможем оптимизировать. Для этого поделим обе части уравнения на \(r^2\):

\[\frac{93,312}{r^2} = h\]

Таким образом, мы получили выражение для высоты цилиндра через радиус основания. Количество материала, используемого для производства, можно найти, учитывая, что площадь боковой поверхности цилиндра равна \(2\pi \cdot r \cdot h\). Подставим в это выражение полученное выражение для высоты и получим функцию, которую мы будем оптимизировать:

\[A = 2\pi \cdot r \cdot \frac{93,312}{r^2}\]

Теперь мы можем взять производную от этой функции по радиусу \(r\) и найти точку, в которой она достигает минимума. Для этого продифференцируем \(A\) по \(r\):

\[\frac{dA}{dr} = 2\pi \cdot \frac{-186,624}{r^3}\]

Обратите внимание, что мы использовали правило дифференцирования степенной функции и константу.

Теперь приравняем выражение для производной к нулю и решим полученное уравнение относительно \(r\):

\[2\pi \cdot \frac{-186,624}{r^3} = 0\]

Отсюда можно увидеть, что \(\frac{-186,624}{r^3} = 0\) и значит, \(r\) не может быть равным нулю. Это объясняется тем, что цилиндр без объема не имеет физического смысла.

Теперь решим уравнение для \(r\):

\[\frac{-186,624}{r^3} = 0\]

\[r^3 = \frac{186,624}{0}\]

\[r = \sqrt[3]{\frac{186,624}{\pi}}\]

Таким образом, радиус основания цилиндра должен быть равен \(\sqrt[3]{\frac{186,624}{\pi}}\).

Для того, чтобы найти высоту цилиндра, подставим найденное значение радиуса в выражение для высоты:

\[h = \frac{93,312}{r^2} = \frac{93,312}{\left(\sqrt[3]{\frac{186,624}{\pi}}\right)^2}\]

После подстановки и упрощения математических выражений, мы получим значение высоты цилиндра.

Поэтому, чтобы размеры закрытого цилиндрического бака с объемом \(93,312\pi\) были такими, чтобы минимальное количество материала было использовано для его производства, радиус основания цилиндра должен быть равен \(\sqrt[3]{\frac{186,624}{\pi}}\), а высота цилиндра будет равна \(\frac{93,312}{\left(\sqrt[3]{\frac{186,624}{\pi}}\right)^2}\).