Какова площадь сечения конуса, если плоскость проходит через вершину и пересекает основание, при условии, что радиус

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится некоторая геометрическая информация о конусах.

Первым шагом будет определение площади сечения конуса. Мы можем разделить конус на две части: верхнюю часть, которая остаётся неприкосновенной при сечении, и нижнюю часть, которая образует сечение. При сечении конуса плоскостью, проходящей через вершину и пересекающей основание, сечение будет иметь форму равнобедренного треугольника, так как угол между плоскостью и высотой конуса является 60°.

Теперь мы можем приступить к определению площади сечения. Рассмотрим сечение треугольником внутри конуса и проведём поперечные линии, соединяющие вершину конуса с точками пересечения плоскости с основанием. Эти линии будут равными друг другу, так как плоскость сечения является равнобедренным треугольником.

Теперь у нас есть два равнобедренных треугольника: один внутри конуса и один снаружи. Мы знаем, что угол между плоскостью сечения и высотой конуса составляет 60°, поэтому угол между высотой конуса и основанием будет составлять 30°. Нам также известно, что высота конуса равна 5 и радиус основания равен 10.

Используя свойства равнобедренных треугольников, мы можем вычислить длины боковых сторон треугольников. Для внутреннего треугольника, длина боковой стороны будет равна половине диаметра основания, то есть \(\frac{{10}}{{2}} = 5\). Для внешнего треугольника, длина боковой стороны будет равна радиусу основания, то есть 10.

Теперь мы можем использовать формулу для вычисления площади треугольника, используя длины его сторон. Для равнобедренных треугольников площадь можно вычислить по формуле:

\[S = \frac{{a^2\sqrt{3}}}{4}\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) - длина боковой стороны.

В нашем случае у нас есть два треугольника: внутренний и внешний. Подставим значения длин боковых сторон:

Для внутреннего треугольника: \(S_{\text{внутр}} = \frac{{5^2\sqrt{3}}}{4}\)
Для внешнего треугольника: \(S_{\text{внеш}} = \frac{{10^2\sqrt{3}}}{4}\)

Теперь, чтобы найти площадь сечения конуса, мы должны вычесть площади внутреннего треугольника из площади внешнего треугольника:

\(S_{\text{сечения}} = S_{\text{внеш}} - S_{\text{внутр}}\)

Выполним вычисления:

\(S_{\text{сечения}} = \frac{{10^2\sqrt{3}}}{4} - \frac{{5^2\sqrt{3}}}{4}\)

Упростим выражение:

\(S_{\text{сечения}} = \frac{{100\sqrt{3}}}{4} - \frac{{25\sqrt{3}}}{4}\)

Вычитая числа, имеющие одинаковые коэффициенты, получим:

\(S_{\text{сечения}} = \frac{{75\sqrt{3}}}{4}\)

Таким образом, площадь сечения конуса, когда плоскость проходит через вершину и пересекает основание, равна \(\frac{{75\sqrt{3}}}{4}\).