Какие размеры должен иметь закрытый цилиндрический бак, чтобы использовать наименьшее количество материала

Для решения этой задачи нам необходимо найти значения радиуса \( r \) и высоты \( h \) цилиндрического бака с заданным объемом.

Используя формулу объема цилиндра \( V = \pi r^2 h \), мы можем записать данное уравнение следующим образом:

\[ 137,842\pi = \pi r^2 h \]

Уравнение можно упростить, разделив обе части на \( \pi \), получим:

\[ 137,842 = r^2 h \]

Теперь мы должны найти такие значения \( r \) и \( h \), которые удовлетворяют уравнению и при этом минимизируют количество используемого материала.

Давайте сначала рассмотрим значение радиуса \( r \). Чтобы минимизировать количество материала, мы должны выбрать наименьшее возможное значение радиуса. Таким образом, \( r \) должно быть равно корню из отношения объема к высоте:

\[ r = \sqrt{\frac{137,842}{h}} \]

Далее, для определения значения высоты \( h \) мы можем выразить ее через радиус \( r \) из уравнения объема цилиндра:

\[ h = \frac{137,842}{r^2} \]

Теперь мы можем создать таблицу с примерными числовыми значениями радиуса и высоты на основе заданного объема. Мы предполагаем, что размеры будут целыми числами.

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Высота (h)} & \text{Радиус (r)} \\
\hline
1 & \sqrt{137,842} \approx 117,394 \\
\hline
2 & \sqrt{68,921} \approx 131,448 \\
\hline
3 & \sqrt{45,947} \approx 151,874 \\
\hline
4 & \sqrt{34,461} \approx 185,355 \\
\hline
5 & \sqrt{27,569} \approx 166,015 \\
\hline
6 & \sqrt{22,974} \approx 97,525 \\
\hline
\end{array}
\]

Мы можем продолжать этот процесс, выбирая другие значения для высоты \( h \), чтобы найти наименьшее количество материала при заданном объеме. Чем больше значения высоты мы рассмотрим, тем точнее будет наше решение.

В данном случае, наименьшее количество материала можно получить, выбрав танк с высотой около 6 и радиусом около 97.525 (округленное значение).

Таким образом, размеры цилиндрического бака, использующие наименьшее количество материала при заданном объеме 137,842π, составляют примерно 6 в высоту и 97.525 в радиусе.