Какие размеры должен иметь закрытый цилиндрический бак, чтобы использовать наименьшее количество материала

Для решения этой задачи нам необходимо найти значения радиуса $r$ и высоты $h$ цилиндрического бака с заданным объемом.

Используя формулу объема цилиндра $V=\pi r^{2}h$, мы можем записать данное уравнение следующим образом:

$$137,842\pi =\pi r^{2}h$$

Уравнение можно упростить, разделив обе части на $\pi$, получим:

$$137,842=r^{2}h$$

Теперь мы должны найти такие значения $r$ и $h$, которые удовлетворяют уравнению и при этом минимизируют количество используемого материала.

Давайте сначала рассмотрим значение радиуса $r$. Чтобы минимизировать количество материала, мы должны выбрать наименьшее возможное значение радиуса. Таким образом, $r$ должно быть равно корню из отношения объема к высоте:

$$r=\sqrt{\frac{137,842}{h}}$$

Далее, для определения значения высоты $h$ мы можем выразить ее через радиус $r$ из уравнения объема цилиндра:

$$h=\frac{137,842}{r^2}$$

Теперь мы можем создать таблицу с примерными числовыми значениями радиуса и высоты на основе заданного объема. Мы предполагаем, что размеры будут целыми числами.

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{Высота (h)}& \text{Радиус (r)}\\ 1& \sqrt{137,842}\approx 117,394\\ 2& \sqrt{68,921}\approx 131,448\\ 3& \sqrt{45,947}\approx 151,874\\ 4& \sqrt{34,461}\approx 185,355\\ 5& \sqrt{27,569}\approx 166,015\\ 6& \sqrt{22,974}\approx 97,525\\ \hline\end{array}$$

Мы можем продолжать этот процесс, выбирая другие значения для высоты $h$, чтобы найти наименьшее количество материала при заданном объеме. Чем больше значения высоты мы рассмотрим, тем точнее будет наше решение.

В данном случае, наименьшее количество материала можно получить, выбрав танк с высотой около 6 и радиусом около 97.525 (округленное значение).

Таким образом, размеры цилиндрического бака, использующие наименьшее количество материала при заданном объеме 137,842π, составляют примерно 6 в высоту и 97.525 в радиусе.