Какие последовательности являются геометрическими прогрессиями с коэффициентом

Для начала, давайте вспомним, что такое геометрическая прогрессия. Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент получается умножением предыдущего элемента на постоянное число, которое называется коэффициентом прогрессии.

Таким образом, если у нас есть последовательность чисел \(a_1, a_2, a_3, a_4, \ldots\) и коэффициент прогрессии обозначим как \(k\), то мы можем записать определение геометрической прогрессии следующим образом:

\[a_2 = a_1 \cdot k,\]
\[a_3 = a_2 \cdot k = a_1 \cdot k \cdot k,\]
\[a_4 = a_3 \cdot k = a_1 \cdot k \cdot k \cdot k,\]
и так далее.

Таким образом, каждый элемент последовательности можно получить, умножая предыдущий элемент на коэффициент прогрессии \(k\).

Теперь давайте посмотрим на несколько примеров, чтобы наглядно представить себе, как выглядят геометрические прогрессии.

Пример 1:
Рассмотрим последовательность чисел 2, 4, 8, 16, 32. Чтобы убедиться, что это геометрическая прогрессия, давайте проверим, что каждый элемент можно получить, умножая предыдущий элемент на постоянный коэффициент.

\[4 = 2 \cdot 2,\]
\[8 = 4 \cdot 2,\]
\[16 = 8 \cdot 2,\]
\[32 = 16 \cdot 2.\]

Мы видим, что каждый следующий элемент получается умножением предыдущего элемента на 2. Значит, последовательность 2, 4, 8, 16, 32 является геометрической прогрессией с коэффициентом 2.

Пример 2:
Рассмотрим последовательность чисел 1, 3, 9, 27, 81. Теперь проверим, что каждый элемент можно получить умножением предыдущего элемента на постоянный коэффициент.

\[3 = 1 \cdot 3,\]
\[9 = 3 \cdot 3,\]
\[27 = 9 \cdot 3,\]
\[81 = 27 \cdot 3.\]

В данном случае каждый следующий элемент получается умножением предыдущего элемента на 3. Значит, последовательность 1, 3, 9, 27, 81 является геометрической прогрессией с коэффициентом 3.

Таким образом, чтобы определить, является ли последовательность геометрической прогрессией, необходимо проверить, что каждый элемент можно получить умножением предыдущего элемента на постоянный коэффициент. Если это условие выполняется, то последовательность является геометрической прогрессией.